Développement : Injectivité de la transformation de Fourier

Détails/Enoncé :

Le but de ce développement est de montrer que la transformée de Fourier est injective (résultat très utile en théorie des probabilités via la fonction caractéristique). Pour cela, nous allons tout d’abord redémontrer un premier résultat préliminaire et la formule de dualité avant de passer à la démonstration.

Recasages pour l'année 2025 :

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    On peut faire le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne autrement, en utilisant le théorème des résidus avec un chemin rectangulaire, mais le faire comme ça permet de meilleurs recasages (236,244...)
    Il faut savoir justifier que $\gamma_s$ est une approximation de l'unité, et savoir démontrer le théorème sur les approximations de l'unité (même preuve que Fejer).
    L'utilisation de Fubini doit être correctement justifiée.
    Il faut aussi savoir dire quelques mots sur la non surjectivité : la transformée de Fourier est à image dense (à savoir justifier) mais non surjective (connaître les idées de la démonstration, savoir qu'on utilise le théorème de Banach...)
    Voir la version de Tintin au dessus qui est plus jolie car tapée à l'ordi !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)