Développement : Equation de Bessel

Détails/Enoncé :

On étudie les solutions développables en série entière en 0 de l'équation $(E) : xy''+y'+xy=0$. On montre qu'il existe de telles solutions puis, étant données $f_0$ la solution DSE de $(E)$ telle que $f_0(0)=1$ et $f$ une autre solution de $(E)$ sur $]0;a[$, on donne une condition nécessaire et suffisante pour que $(f,f_0)$ soit libre (et forme donc une base de solutions de $(E)$).

Recasages pour l'année 2026 :

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    Dans ma version :
    - Je trouve l'unique solution DSE en 0 de l'équation de Bessel (avec condition initiale) ;
    - Je montre qu'une fonction définie par une intégrale est solution de l'équation de Bessel et est DSE en 0 ;
    - Je conclus que c'est exactement la solution DSE trouvée au départ.
    Je donne également une application sur les intégrales de Wallis, ainsi que quelques remarques.

    Je n'étudie pas le comportement asymptotique des fonctions de Bessel. C'est d'ailleurs la seule digression que je fais vis-à-vis de la référence que j'ai prise mais ça se retient assez bien je trouve.

    Attention aux coquilles.
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    Le dev est au recto, lemme au verso
    Réf : Oraux X-ENS Analyse 4 p.101 - 103
    Recasage : 220, 221, 243

    Remarque : Développement original ! Il a l'avantage de traiter des EDO par les séries entières, et de se recaser parfaitement. Je vous conseille de faire un plan en 2 items pour le résultat principal, puis de montrer rapidement l'égalité finale en application.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 71 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 106 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 40 versions au total)