Leçon 224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

(2023) 224
(2025) 224

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.) Cette leçon est exclusivement consacrée à des exemples : on n'attend aucun exposé systématique sur les notions de développement asymptotique ou d'échelle de comparaison. Une certaine aisance dans la manipulation des relations de comparaison est attendue dans cette leçon. Presque toutes les parties du programme peuvent être mises à contribution : suites définies par une relation de récurrence ou implicitement, estimation asymptotique de sommes partielles ou de restes, fonctions définies par une série ou une intégrale (comportement de la fonction ζ au voisinage de 1 ou du logarithme intégral au voisinage de 8, méthode de Laplace ou de la phase stationnaire notamment), mais aussi solutions d'équations différentielles dont on peut étudier le comportement à l'infini ou la distribution des zéros. Il ne s'agit pas de présenter un grand nombre d'exemples triviaux, mais quelques exemples significatifs bien choisis et diversifiés, pour lesquels on analysera avec soin les idées essentielles des méthodes utilisées. Pour les candidates et candidats solides voulant aller plus loin, des exemples de méthodes d'accélération de convergence peuvent être présentées.

(2019 : 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.) Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020. Ses thèmes se retrouveront dans les leçons223, 239, 265. $\\$ Ce sujet permet d’exprimer un savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode deLaplace. L’étude de suites récurrentes, plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, fait aussi partie du bagage de l’agrégatif, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).
(2017 : 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.) Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction $\Gamma$. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier, voire présenter la méthode de Laplace. Par ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que le poncif* $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite). *NDLR : poncif = Formule rabâchée, qui a perdu toute originalité ; cliché.
(2016 : 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.) Cette leçon doit permettre aux candidats d’exprimer leur savoir-faire sur les techniques d’analyse élémentaire que ce soit sur les suites, les séries ou les intégrales. On peut par exemple établir un développement asymptotique à quelques termes des sommes partielles de la série harmonique, ou bien la formule de Stirling que ce soit dans sa version factorielle ou pour la fonction Γ. On peut également s’intéresser aux comportements autour des singularités de fonctions spéciales célèbres. Du côté de l’intégration, on peut évaluer la vitesse de divergence de l’intégrale de la valeur absolue du sinus cardinal, avec des applications pour les séries de Fourier ; voire présenter la méthode de Laplace. Par ailleurs, le thème de la leçon permet l’étude de suites récurrentes (autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), plus généralement de suites ou de fonctions définies implicitement, ou encore des études asymptotiques de solutions d’équations différentielles (sans résolution explicite).

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Auteur :
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    Pas un immense fan de cette leçon, mais elle se remplit bien.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples...
    Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable...
    Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires...
    Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça...
    On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence.
    Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli
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2023 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2019 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

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    J'ai eu beaucoup de mal à faire cette leçon. Je ne pense pas avoir fait un bon plan, je la met quand même en ligne pour les références.
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2018 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.


2017 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.


2016 : Leçon 224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 88 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 77 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)