Développement : Méthode de Newton

Détails/Enoncé :

Soit $f : [c,d] \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ tel que $f(a) = 0$ où $a \in ]c,d[$. On définit la suite $(x_n)$ par $x_0 \in [c,d]$ et $x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n) }{ f'(x_n)}$ si $f'(x_n) \not=0$ et $x_{n+1} = x_n$ sinon. Alors sous certaines conditions on montre que $(x_n)$ converge vers $a$.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence.
    C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.
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    Utilisable dans plein de leçons donc ultra classique.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    J'avais rajouté le lemme pour insister sur le recassage pour les leçon de convexité mais au final je me suis rendu compte que c'était trop ambitieux et pas nécessaire si l'on explique bien avec un schéma ce qui ce passe et en quoi la convexité nous aide.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 166 versions au total)
Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 56 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 132 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 4 versions au total)