Développement : Equation de la chaleur

Détails/Enoncé :

Il s'agit de résoudre l'équation de la chaleur avec une certaine condition initiale, le résultat est le suivant :

Soit $u_0 : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ non nulle, continue, 2$\pi$-périodique, $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Le problème suivant :
$$\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\
\forall x \in \mathbb{R}, u(0,x)=u_0(x)
\end{cases}$$
possède une unique solution continue sur $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Ce développement demande de bien le travailler pour savoir très bien justifier chaque interversion, chaque étape. Il est aussi très très long, au début je ne faisais que la partie Analyse (c'est suffisant je pense), et puis avec le temps et l'entraînement, j'arrivais à faire tenir aussi la Synthèse dans les 15 minutes.
    J'ai parfois rajouté des remarques qui ne sont pas dans la référence pour justifier les interversions. Il faut aussi bien savoir justifier pourquoi on a le droit d'écrire "$f$ égale à sa série de Fourier".
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)