Développement : Théorème de Stone-Weierstrass

Détails/Enoncé :

Soit $X$ un espace métrique compact non vide. Soit $H$ une sous-algèbre de $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$
séparante et contenant les fonctions constantes. Alors $H$ est dense pour la norme uniforme $||.||_{\infty}$.

Référence : Hirsch, Lacombe - "Eléments d'analyse fonctionnelle" p. 29

Le recasage dans la leçon série de Fourier vient du fait qu'on peut démontrer une version trigonométrique à partir de celle-ci (cf p. 30-31)

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Recasages: 201, 203, 209

    Page 29

    Commentaires en fin de document.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je recase ce développement dans 201, 203, 209 (c'est bon) et dans 228 (là c'est moins bon car ça dépasse le cadre réel... Il faut justifier par le fait qu'on l'utilise dans le cadre pour justifier la densité des fonctions polynômiales, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...) Il faut aussi insister sur les endroits où on utilise la continuité des fonctions.

    Même si tout est fait dans le Hirsch-Lacombe, ce développement mérite d'être bien travaillé pour vérifier si on a bien compris tous les arguments. Il faut aussi savoir comment on construit la suite de polynômes qui converge uniformément vers la valeur absolue sur $[-1;1]$. On utilise pour cela un théorème de Dini qu'il faut également savoir démontrer.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 105 versions au total)