Développement : Méthode de Laplace

Détails/Enoncé :

Soit $I = ]a,b[$ un intervalle de $\mathbb{R}$ borné ou non. Soit $\varphi \in C^2(I, \mathbb{R}) , f \in C( I, \mathbb{C})$. On suppose que

$$ \forall t > 0 , \int_a^b e^{t \varphi(x)} | f(x)|dx < +\infty $$

que $\varphi'$ ne s'annule qu'en un point $x_0$ et que $\varphi''(x_0) < 0$.

que $f(x_0) \not=0$.

Alors on a l'équivalent trop hype :

$$ F(t) = \int_a^b e^{t \varphi(x)} f(x) dx \sim_{t \to +\infty} \sqrt{ \frac{ 2\pi}{t |\varphi''(x_0)|} } e^{t \varphi(x_0)} f(x_0) $$

Recasages pour l'année 2025 :

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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Dans ce document se trouve la méthode de Laplace et celle de la phase stationnaire, les deux preuves étant quasiment identique. Il faut juste faire un choix entre les deux.
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    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
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    Développement très technique et très long si on écrit tous les détails. En revanche, il se recase dans de très nombreuses leçons. Pour être tout à fait honnête, je ne maîtrisais pas suffisamment ce développement pour l'exposer en seulement 15 minutes. Si c'est aussi votre cas, je vous conseille de prouver seulement le point (ii).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 258 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 678 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 36 versions au total)