Développement : Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

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Recasages pour l'année 2025 :

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    Pour la leçon 221, et éventuellement 205 mais je pense qu'il est alors préférable de faire le théorème de Cauchy-Lipschitz global.

    Ma démonstration est en fait une adaptation de celle du théorème de Cauchy-Lipschitz local, ce qui évite d'avoir à en retenir deux si l'on souhaite le choisir également comme développement.

    Comme pour la version que j'ai proposée du théorème de Cauchy-Lipschitz global sur le site, je n'ai malheureusement pas de référence.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    La preuve présentée ici est issue du Pommelet. Je la trouve cependant mieux rédigée dans le Dantzer.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    A chaque entrainement je dépassais largement les 15 minutes, j'ai donc fait le choix de présenter uniquement la partie où l'on se place dans le cas d'un intervalle fermée, la deuxième en découlant. Dans tous les cas, il faut savoir démontrer la deuxième partie qui est le cas général.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails.
    La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!)

    Les recasages à mon avis:
    Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral)
    EDO linéaires
    Application de la dimension finie en analyse
    Eventuellement espaces vectoriels normés
    Il est à mon avis hors sujet dans la leçon "illustrer par des exemples la théorie des edos"... C'est pas un exemple quoi...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 47 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 61 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Calcul différentiel et équations différentielles, Sylvie Benzoni-Gavage (utilisée dans 3 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 8 versions au total)