Développement : Différentielle du déterminant

Détails/Enoncé :

Soit la fonction
\[\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}.\]
On a donc pour tout $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et pour tout $H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,
\[D_X\det.H=\textrm{Tr}(^t\textrm{Com}(X).H).\]

puis une application

Soit $y_1,...,y_n$ des solutions à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ du système différentiel $y'(t)=A(t)y(t)$, où $A(t)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est une fonction continue et soit $w(t)=\det(y_1(t),...,y_n(t))$ leur déterminant wronskien.

Alors $w'(t)=\textrm{Tr}(A(t))w(t)$. De plus, si $A$ est constante, $\det(e^{tA})=e^{t\textrm{Tr}(A)}$.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 260 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 144 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)