Développement : Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss

Détails/Enoncé :

On calcule $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$)
On trouve : $$\tau_n = \frac{1+i^{-n}}{1+i^{-1}} \sqrt{n}$$

Le calcul se fait en reconnaissant la somme comme la valeur d'une fonction, et de calculer cette valeur en utilisant les séries de Fourier et le théorème de Dirichlet.
Au passage, on détermine la valeur de l'intégrale de Fresnel :
$$\int_0^{\infty} \exp(2i \pi x^2) \mathrm dx$$

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Arithmetics , Hindry (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)