Développement : L'équation de la chaleur par les séries de Fourier

Détails/Enoncé :

Soit $u_0\in L^2([0;1])$ et $(d_n = c_n(u_0))_{n\in\mathbf{Z}}$ la suite de ses coefficients de Fourier.
Alors: il existe une unique fonction $u\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R};\mathbf{R})$ telle que:
(1) Pour tout $t\in\mathbf{R}_+^*$, $u(t;.)$ est $2\pi$-périodique.
(2) $\partial_t u$ et $\Delta_x u$ sont bien définies et continues sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$.
(3) $\partial_t u = \Delta_x u$ sur $\mathbf{R}_+^*\times\mathbf{R}$ (équation de la chaleur).
(4) $u(t;.)$ tend en norme $L^2$ vers $u_0$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Développement technique, exploitant de nombreux théorèmes d'analyse au programme : théorème de dérivation sous le signe intégral, permutation série-intégrale (en cas de convergence uniforme), formule de Parseval, théorème de convergence dominée (à paramètre). Je pense qu'il est important de bien citer toutes les hypothèses requises pour ces théorèmes (à l'oral). De plus, l'équation de la chaleur figure sur le programme d'option calcul scientifique. Je vous recommande ce développement si vous avez choisi cette option.
  • Référence :
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 167 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 158 versions au total)