Développement : Optimisation dans un Hilbert

Détails/Enoncé :

Soient $H$ un espace de Hilbert et $J : H \to \mathbb{R}$ convexe, continue et coercive (c'est-à-dire $J(x) \to +\infty$ lorsque $||x|| \to +\infty$). Alors il existe $a \in H$ tel que $J(a) = \inf_H J$.

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    Un développement pas facile, qui exploite à fond la notion de convergence faible dans un espace de Hilbert. Il utilise toute la panoplie des résultats propres aux espaces de Hilbert, et à ce titre, il se recase très bien dans la leçon idoine ainsi que dans les leçons de convexité. A mon sens, le piège qui se cache derrière, c'est la difficulté à trouver une application au résultat. En effet, un bon nombre des corollaires qu'on peut en tirer sont en fait résolus directement par le théorème de Riesz, ou bien par les théorèmes de Lax-Milgram et de Stampacchia qui sont en fait plus faibles. J'ai ajouté en fin de document un cas d'utilisation de notre résultats où les autres théorèmes sont mis en défaut, mais il est très largement hors-programme, et sans référence (c'est issu d'un cours que j'ai eu pendant la préparation). Je n'ai pas eu le courage de rédiger toute la preuve, mais vous pourrez la trouver dans son intégralité dans le document de Thomas Courant.
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    Un développement que je trouve difficile bien qu'intéressant. Attention aux remarques que je fais dans ma version, en particulier le fait qu'en dimension finie, le théorème n'a pas d'intérêt.

    Concernant l'application, j'admets qu'elle est beaucoup trop longue (et en plus pas référencée du tout) donc n'hésitez pas à passer énormément de détails quitte à uniquement donner les idées (et, sur demande du jury, les détailler). Les calculs ne sont pas vraiment utiles pour la présentation de cette application en soi mais les travailler un minimum est forcément utile.
    On pourrait penser qu'on pourrait oublier l'application, et en vrai ça se défend, mais je ne suis pas de cet avis : ne pas proposer d'application pertinente (i.e. en dimension infinie) de ce théorème représente un risque non négligeable à mes yeux.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 68 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 191 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 109 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 742 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 38 versions au total)