Développement : Optimisation dans un Hilbert

Détails/Enoncé :

Soient $H$ un espace de Hilbert et $J : H \to \mathbb{R}$ convexe, continue et coercive (c'est-à-dire $J(x) \to +\infty$ lorsque $||x|| \to +\infty$). Alors il existe $a \in H$ tel que $J(a) = \inf_H J$.

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    Un développement pas facile, qui exploite à fond la notion de convergence faible dans un espace de Hilbert. Il utilise toute la panoplie des résultats propres aux espaces de Hilbert, et à ce titre, il se recase très bien dans la leçon idoine ainsi que dans les leçons de convexité. A mon sens, le piège qui se cache derrière, c'est la difficulté à trouver une application au résultat. En effet, un bon nombre des corollaires qu'on peut en tirer sont en fait résolus directement par le théorème de Riesz, ou bien par les théorèmes de Lax-Milgram et de Stampacchia qui sont en fait plus faibles. J'ai ajouté en fin de document un cas d'utilisation de notre résultats où les autres théorèmes sont mis en défaut, mais il est très largement hors-programme, et sans référence (c'est issu d'un cours que j'ai eu pendant la préparation). Je n'ai pas eu le courage de rédiger toute la preuve, mais vous pourrez la trouver dans son intégralité dans le document de Thomas Courant.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 66 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 178 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 108 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 679 versions au total)