Développement : Décompostion de Bruhat et drapeaux

Détails/Enoncé :

Soit $K$ un corps, $n \geq 1$.
Pour tout $A \in GL_n(K)$, $A$ se décompose sous la forme : $A = T_1P_{\sigma}T_2$
où $T_1,T_2$ sont des matrices triangulaires supérieures (inversibles) et où $P_{\sigma}$ est une matrice de permutation.
De plus, la matrice de permutation $P_{\sigma}$ est unique.

On peut alors appliquer ce résultat pour obtenir des propriétés sur l'action de $GL_n(K)$ sur l'ensemble des drapeaux de $K^n$.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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  • Remarque :
    J'aime beaucoup ce développement mais il est assez technique et, je dirais-même, un peu compliqué. Il faut bien le travailler et faire les tests votre côté pour vérifier la bonne traduction des opérations élémentaires en produit matricielle. J'ai d'ailleurs pu écrire des bêtises donc ne prenez pas pour vrai tout ce qui est écrit !

    Je le prends pour les leçons 105, 106 et 162.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 322 de la référence.
  • Référence :
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 115 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)