Leçon 230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

(2021) 230
(2023) 230

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) Dans cette leçon, il faut se garder de proposer un interminable catalogue de propriétés et de "règles" illustrées de quelques rares exemples triviaux (Riemann, Bertrand). Mieux vaut se limiter à quelques résultats fondamentaux bien choisis et mis en perspective, et accompagnés de quelques exemples significatifs. Plutôt que de se limiter à la seule étude de la convergence de séries, les candidats pourront par exemple s'intéresser à l'estimation de sommes partielles (pour laquelle la comparaison entre somme et intégrale, en présence ou non de monotonie, est un outil particulièrement efficace), à l'étude asymptotique de suites récurrentes (si possible autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), ou encore à l'itération d'une fonction régulière au voisinage d'un point fixe. L'utilisation de séries entières ou de séries de Fourier pour calculer la somme de certaines séries, le calcul de l'espérance d'une variable aléatoire discrète fournissent également de riches thèmes d'étude. Les candidats solides pourront s'intéresser aux procédés de sommation des séries divergentes (qui interviennent naturellement dans la théorie des séries de Fourier, entre autres) ainsi qu'aux théorèmes taubériens qui s'y rapportent.

(2019 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Un thème important de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann,comparaison séries et intégrales, ...). Trop de présentations manquent d’exemples. $\\$ On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). L’utilisation des calculs de séries numériques en théorie des probabilités peut fournir des exemples pertinents illustrant cette leçon. $\\$ Enfin, si le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, il rappelle aussi que ses généralisations possibles utilisant la transformation d’Abel trouvent toute leur place dans cette leçon.
(2017 : 230 - Séries et de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Un thème important de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann, comparaison séries et intégrales,...). Le manque d’exemples est à déplorer. On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). Enfin le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, mais il rappelle aussi que la transformation d’Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2016 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples. ) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être hors sujet, cette exposition ne doit pas former l’essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, développements asymptotiques — par exemple pour certaines suites récurrentes — cas des séries de Riemann, . . .). On peut aussi s’intéresser à certaines sommes particulières, que ce soit pour exhiber des nombres irrationnels (voire transcendants), ou mettre en valeur des techniques de calculs non triviales (par exemple en faisant appel aux séries de Fourier ou aux séries entières). Enfin le jury apprécie que le théorème des séries alternées (avec sa version sur le contrôle du reste) soit maîtrisé, mais on rappelle aussi que la transformation d’Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2015 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel de la matière de la leçon. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, ... ) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.
(2014 : 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.) De nombreux candidats commencent leur plan par une longue exposition des conditions classiques assurant la convergence ou la divergence des séries numériques. Sans être véritablement hors sujet, cette exposition ne doit pas former l'essentiel du plan. Le thème central de la leçon est en effet le comportement asymptotique des restes et sommes partielles (équivalents, etc...) et leurs applications diverses, comme par exemple des résultats d'irrationalité, voire de transcendance. Enfin on rappelle que la transformation d'Abel trouve toute sa place dans cette leçon.

Développements :

Plans/remarques :

2022 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2020 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2018 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2017 : Leçon 230 - Séries et de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


2016 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Leçon choisie :

    230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Expression des zeta(2k)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - J'ai eu des questions sur le développement (tracer la fonction phi, énoncé le théorème de Dirichlet et une discussion sur les fonctions continues par morceaux). J'ai eu un peu de mal sur la fin donc ils sont passés à autre chose.
    - Donner un équivalent du reste de la série de Riemann (grâce au théorème comparaison séries/intégrales).
    - La preuve du critère de Cauchy. J'avais un peu de mal aux questions précédentes donc ils m'ont posé une question un peu plus facile.
    - La preuve de l'équivalent de la série harmonique. Je ne l'avais pas préparé, le jury m'a guidé et j'étais assez réactive à leurs indications.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury n'était pas du tout méchant, il essayait vraiment de m'aider.
    J'ai assisté à un oral la veille, et le jury adapte les questions selon le niveau du candidat.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    3h c'est très court pour préparer la leçon, on a pas le temps de faire un plan trop ambitieux...
    Il faut vraiment bien connaitre ses développements, pour ne pas perdre du temps.
    Le but est de vérifier qu'on maitrise les bases.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 46 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 123 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 56 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 38 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 397 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 57 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 31 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 45 versions au total)