Leçon 222 : Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

(2021) 222

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). $\\$ Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u- u" = f$ sur $[0,1]$ avec des conditions de Dirichlet en $x=0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur dans différents contextes, l’équation des ondes ou de Schrödinger dans le cadre des fonctions périodiques. Des raisonnements exploitant la transformée de Fourier peuvent également être présentés. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du Laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. $\\$ Pour aller plus loin, la notion de solution faible d’équations aux dérivées partielles linéaires peut également être présentée, avec des applications à la résolution des équations de Laplace, de la chaleur, des ondes, ou de l’équation de transport. Des développements sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec par exemple l’application du théorème de Lax–Milgram voire la décomposition spectrale des opérateurs compacts dans un espace fonctionnel approprié.

(2017 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' =f $ avec des conditions de Dirichlet en $x=0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur dans différents contextes, l’équation des ondes ou de Schrödinger dans le cadre des fonctions périodiques. Des raisonnements exploitant la transformée de Fourier peuvent également être présentés. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l’espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$, jusqu’à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec, par exemple, l’étude des solutions élémentaires du laplacien.
(2016 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires. ) Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' = f$ avec des conditions de Dirichlet en $x =0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier, notamment sur l’espace de Schwartz, peut être considérée. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l’espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[]$, jusqu’à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l’étude de solutions élémentaires d’équations elliptiques.
(2015 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette nouvelle leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). Les techniques d'équations différentielles s'expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u'' = f$ avec des conditions de Dirichlet en $x = 0$, $x =1$ ou pour analyser l'équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l'équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier permet ceci dans le cadre des fonctions sur $\mathbb{R}^d$. Le point de vue de l'approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l'analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l'analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l'espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ , jusqu'à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l'étude de solutions élémentaires d'équations elliptiques.
(2014 : 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.) Cette nouvelle leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Les techniques d'équations différentielles s'expriment par exemple pour traiter $\lambda u - u''$ avec des conditions de Dirichlet en $x = 0, x = 1$ ou pour analyser l'équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l'équation de la chaleur, de Schrödinger ou des ondes dans le contexte des fonctions périodiques. La transformée de Fourier permet ceci dans le cadre des fonctions sur $R^d$. Le point de vue de l'approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du laplacien et de l'analyse de convergence de la méthode des différences finies. Des développements plus sophistiqués se placeront sur le terrain de l'analyse hilbertienne avec le théorème de Lax-Milgram, l'espace de Sobolev $H_0^1(]0,1[)$, jusqu'à la décomposition spectrale des opérateurs compacts, ou encore sur celui des distributions avec l'étude de solutions élémentaires d'équations elliptiques.

Plans/remarques :

2022 : Leçon 222 - Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'avais quasiment jamais fait d'EDP avant l'agreg.
    A prendre avec précaution donc...
  • Fichier :

2020 : Leçon 222 - Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Le plan est vigoureusement contestable. J'ai décidé de ne pas suivre la classification réelle des EDP. En particulier, j'ai mis l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger ensemble, les deux EDP étant très similaires par leur méthode de résolution ...
    ... mais il est important de remarquer que les solutions ont des propriétés très différentes malgré ce petit facteur i !
  • Références :
  • Fichier :

2019 : Leçon 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.


2016 : Leçon 222 - Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.


Retours d'oraux :

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 124 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 37 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 44 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 22 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 53 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 412 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 45 versions au total)
Analyse numérique des EDP , DiMenza (utilisée dans 4 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 28 versions au total)