Développement : Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

Détails/Enoncé :

Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$ et $u$ l'unique solution de$Au = b$. On pose $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et $u_{k+1} = M^{-1} ( N u_k +b)$ où $A = M-N$ avec $M \in GL_n(\mathbb{R})$. Alors la suite $(u_k)$ converge vers $u$ (quelque soit $u_0$) si et seulement si $\rho( M^{-1}N) < 1$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'aime cette version qui ne s'intéresse qu'aux théorèmes préliminaires de convergence mais ce sont ceux-là qui permettent de justifier la convergence de méthodes comme Jacobi ou Gauss-Seidel. En tout cas c'est assez clairement expliqué dans Schatzman.
    D'ailleurs la démonstration originelle dans Schatzman comporte des erreurs que je pense avoir réussi à corriger.

    Il faut conclure une présentation de ce développement par un commentaire sur la convergence d'au moins une méthode itérative.
    (p265)
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    Développement complètement sous côté. Il est pas très dur, assez original et va dans beaucoup de leçons :
    - 153 car on définit quand même une norme majoré par le rayon spectral, le résultat est alors une application.
    - 154 on décompose une matrice pour résoudre des systèmes.
    - 156 on trigonalise pour obtenir notre norme et c'est le point clef pour obtenir le lemme .
    - 162 ca paraît assez clair.
    - 226 pareil.
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    Un développement sympathique. Ma version est vraiment très courte à l'écrit, mais en donnant quelques compléments à l'oral, ça remplissait bien le temps imparti. Le début est exactement le même que la preuve du lemme dans le dev Topologie des classes de similitude. Le lemme constitue un résultat pour le moins inhabituel sur le rayon spectral et les normes d'opérateur. Tellement inhabituel que je trouve qu'il est vraiment intéressant de présenter ce développement dans la leçon sur les valeurs propres. On peut aller bien plus loin, en présentant des exemples de méthodes itératives calquées sur ce schéma, comme Gauss-Seidel ou Jacobi. Mais pour moi, pauvre option A, c'était prendre trop de risques : je préférais garder ces noms savants sous la pédale en cas de question gênante... Plus trop sûr de la référence. Côté recasage à mon avis:

    Valeurs propres et vecteurs propres
    Systèmes linéaires

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Modélisation à l'oral de l'agrégation , Dumas (utilisée dans 12 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 5 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)