Développement : Théorème de Fourier-Plancherel

Détails/Enoncé :

Soit $f \in L^1 \bigcap L^2$. Alors $|| \widehat{f} ||_2 = ||f||_2$ et $\mathcal{F} (L^1 \bigcap L^2) \subseteq L^2$ et de plus cette partie est dense.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Attention, bien prendre la convention du Rudin pour la transformée de Fourier.
    En bas à gauche de la première page, la justification de la convergence est le théorème de convergence dominée !
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    D'après moi pour les leçons : 201, 207, 208, 234, 235 et 250.

    Attention il est très long, et il y a un travail préliminaire à faire sur l'approximation de l'unité choisie par W. Rudin que l'on n'a bien évidemment pas le temps de démontrer : bien préciser que c'est admis.

    Attention également à la coquille dans le livre : $\Phi_A$ et $\Psi_A$ sont à intervertir.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

    Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 91 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 159 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 116 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 34 versions au total)