Développement : SO₃(R) et les quaternions

Détails/Enoncé :

Soit $H$ le corps non commutatif des quaternions. Soit $G$ le groupe des quaternions de module $1$ : $G = \{ a + bi +cj + dk \in H : a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \}$.

On montre qu'il existe un isomorphisme entre $G / \{ 1 , -1 \}$ et $SO_3(\mathbb{R})$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    L'auteur du document donne comme reference :H2G2 D. Perrin, Cours d'algebre A. Jeanneret, D. Lines, Invitation a l'algebre
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    Ce développement se recase dans huit leçons : 103, 106, 108, 127, 151, 158, 161, 191. J’ai également ajouté une série de questions en lien avec le développement.

    Ce développement est assez long si l'on prend le temps de tout expliquer correctement et d'introduire les quaternions de manière matricielle. L'isomorphisme exceptionnel en jeu peut naturellement ouvrir la discussion vers la topologie algébrique (notamment le groupe fondamental de $\mathcal{SO}(3)$ et son revêtement universel...) mais si vous en êtes à ce type d'échange avec le jury, c'est que vous avez déjà une très bonne note. Pour citer l'une de nos professeures : pas besoin de faire difficile pour avoir l'agrég.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 513 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 180 versions au total)