Leçon 203 : Utilisation de la notion de compacité.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Le jury a choisi l'équivalence des normes en dimension finie et le théorème de Riesz comme développement, j'ai réussi à le faire sans souci.
Questions sur le développement :
- le jury n'a pas aimé l'argument classique de la preuve avec l'ensemble des $x$ de norme $N_0$ (notations du Gourdon) égale à $1$ qui est compact comme image par une application continue d'un fermé borné de $\mathbb{K}^n$ donc d'un compact de $\mathbb{K}^n$ (et seulement de $\mathbb{K}^n$, à ce stade on ne connait pas encore les compacts d'un $\mathbb{K}$-evn de dimension finie), ils ont préféré me le faire écrire comme l'image du carré $[-1,1]\times[-1,1]$ que l'on sait compact (les $x$ dont la norme infinie vaut $1$ dans le plan, ils m'ont demandé de le dessiner), je n'avais jamais vu cet argument et il est effectivement bien plus clair et lève l’ambiguïté qui peut régner sur le potentiel raisonnement circulaire.
- l'un des membres du jury m'a ensuite demandé pourquoi l'isométrie de la preuve était continue : c'est par définition de la norme $N_0$ choisie (une question triviale on ne crache pas dessus).
- aucune autre question sur l'équivalence des normes, je connaissais par cœur le reste.
- aucune question sur le lemme de Riesz ni sur le théorème.

Questions sur le plan et exercices :
- on a commencé par une question classique : l'image réciproque d'un compact par une application continue est-elle compacte ? Réponse non (penser au sinus), je connaissais la réponse mais je ne rappelais plus du contre-exemple je l'ai reconstruit en direct et le jury à l'air d'avoir apprécié.
- je n'ai eu aucune autre question sur le plan.
- exercice : c'était sur les opérateurs à noyau (du type $T(f)(x)= \int_{0}^{1} K(x,t)f(x) dt $ pour $f$ continue sur $[0,1]$ et $K$ définie je ne sais plus comment)
1) Montrer que T est continue (théorème de continuité sous le signe intégral) : facile une fois que le jury nous fait remarquer que l'on a affaire à une intégrale et que chercher à majorer $|T(f)(x)|$ par une constante fois $|x|$ n'est pas la bonne idée...
2) Montrer que $T(B(0,1))$ est d'adhérence compacte. J'ai eu pas mal de souci avec cette question, je ne savais pas par où commencer et l'oral s'est terminé sur mes nombreuses tentatives plus ou moins foireuses de résolution, ce n'était pas très glorieux il y avait un nombre assez fou de notations pour les suites, suites extraites, le jonglage entre adhérence et image par T...(le membre du jury qui m'a donné l'exo ne voulait pas m'aider, je me sentais très seul devant mon tableau...)

Les deux premiers membres étaient très gentils et n'hésitaient pas à m'aider. Le dernier en revanche était très cassant et désagréable et ne réagissait pas du tout à ce que je disais à l'oral lorsque je réfléchissais à voix haute pendant la résolution de l'exercice (c'est lui qui m'a donné l'énoncé).

Tout est très bien organisé, rien à signaler.

15.5

203 : Utilisation de la notion de compacité.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Théorème de Weierstrass

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Le jury m'a tout d'abord posé quelques questions sur le développement (optimisation de la vitesse de convergence vers les polynômes de Bernstein dans le cas d'une fonction lipschitzienne + utilisation de l'indépendance de variables aléatoires réelles dans le développement).
On est ensuite passé sur des exercices : un premier sur une suite (x_n) bornée dans qui vérifiait des conditions et l'on m'a demandé ce que l'on pouvait dire dessus. J'ai donc pensé au théorème de Bolzano-Weierstrass et j'ai dit qu'on allait essayé de montrer qu'elle converge en montrant qu'elle admet une unique valeur d'adhérence (et c'était ce qu'il fallait faire). Ensuite j'ai du montré que la boule unité fermé de L^2 était un fermé de L^1 mais je n'ai pas réussi à aller bien loin dans l'exercice car je me suis embrouillé entre les deux espaces... Cependant la suite de l'exercice consistait à partir sur le lemme de Baire et les ensembles Gdelta-denses. Enfin j'ai eu un dernier exercices qui consistait à chercher une fonction vérifiant des conditions avec un opérateur et il fallait utiliser le théorème du point fixe de Banach pour conclure (un peu comme dans la démonstration de Cauchy-Lipschitz local avec le théorème du point fixe).

Le jury a été plutôt bienveillant et a cherché à m'aider dès que j'étais coincé.

C'était mon tout premier oral et ça s'est passé comme je l'imaginais (tant sur la préparation que l'oral).

14.25

203 : Utilisation de la notion de compacité.

215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

• Théorème de Weierstrass (par la convolution)

• Analyse : Gourdon
• Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2 : Philippe Caldero et Jérôme Germoni
• Oraux X-ENS Analyse 4 : Francinou, Gianella, Nicolas
• Elements d'analyse fonctionnelle : Hirsch

En me présentant devant la salle de passage, j’étais plutôt confiant.

Comme tous mes autres oraux, je commençai par « Bonjour à tous, je suis très content d’être là ! » avec un grand sourire.
Il n’y a rien de particulier à dire à propos de ma défense de plan.
Le développement choisi fut « équivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz ». Je le fis en entier cette fois-ci et dans les 15 minutes. Youpi ! Ce que j’écrivis était très proche de la version du Gourdon. Il vaut mieux l’avoir sous les yeux pour lire les lignes qui suivent.
J’avais fait une petite coquille puisqu’au moment d’écrire l’isométrie, j’avais mis : phi : (x1,…,xn) associe ∑xi. On me demanda si j’étais sûr de mon application, je rajoutai les ei à droite.
Ensuite, on me demanda pourquoi on pouvait prendre un projeté y de x dans la preuve du théorème de Riesz. Je répondis qu’on pouvait se restreindre à un sev de dimension finie en considérant Vect(x1,…,xn,x), donc l’application qui à z associe ||x-z|| admet un minimum car coercive. « Mais quel résultat utilisez-vous ? » « Ah, mais oui, j’utilise le résultat sur les fonctions coercives qui sont dans la suite de mon plan, ça semble être de la triche, mais en réalité pas tant que ça puisque pour montrer ce résultat, nous avons simplement besoin de savoir que les fermés bornés sont compacts en dimension finie. »
On me posa par la suite une question à propos de mon deuxième développement : « Est-ce que Weierstrass marche si on prend un compact de C ? » ça sentait le piège. Après quelques instants de réflexion : supposons qu’on a une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément sur un compact de C vers une fonction continue, ce sont donc des fonctions analytiques et la limite le serait aussi. « Oui » me fit alors un des membres du jury avec sa voix sensuelle… « Mais toutes les fonctions continues sur un compact ne sont pas holomorphes. » pensais-je à haute voix. « Avez-vous un contre-exemple ? » Là, je me sentais un peu débile, car je n’en voyais pas, on me dit « le contre-exemple classique ? » « Le module bien sûr ! » m’exclamais-je.
« Pouvez-vous montrer qu’un produit fini de compact est compact ? » « J’ai très envie de faire un procédé d’extraction diagonale. Bon, je vais le montrer pour deux, ce sera plus simple. » Encore le même « Oui » d’une voix grave après cette petite prise d’initiative. Quel dommage que je me fusse planté sur l’ordre des extractrices. On me dit avant la conclusion « Bon, on va passer à autre chose », cette phrase est frustrante.
Cette autre chose était : « On considère une suite de fonctions 1-lipschitzienne allant d’un compact K à R et convergeant simplement sur K. Montrer que la limite est 1-lipschitzienne et que la convergence est uniforme. » Je commençai à vouloir montrer le caractère 1-lipschitz, je me disais peu de temps après que c’était peut-être plus simple de commencer par la convergence uniforme, mais on me répondit que non. Bon, j’y arrivai sans trop d’aide et surtout sans la compacité. Il fallait maintenant passer à la convergence uniforme. La première remarque que je fis : « Il va bien falloir utiliser la compacité » à laquelle répondit une fois de plus un « Oui » qui eut l’effet d’une douce caresse sur ma joue. Hélas, je ne voyais pas du tout comment la faire apparaître, on me demanda quelles définitions de la compacité je connaissais, « Bolzano Weierstrass et Borel Lebesgue », « Utilisez Borel Lebesgue » et après quelques indications, je réussis à terminer l’exercice.
Finalement, le dernier exercice qu’on me proposa : « Soit B la boule unité de L²(0,1), rappelez déjà pourquoi L2 est dans L1. » « On est dans le cas d’une mesure finie. » « Pouvez-vous faire la preuve ?» Je commençai alors à écrire une intégrale en séparant selon que f est >1 ou <1, mais on me demanda de faire autrement, je ne savais pas trop. « Grâce à une inégalité ? » me suggéra le monsieur assis au milieu, bien moins charismatique que son voisin. « Cauchy-Schwarz ! », Ah cette inégalité ! Je n’y pense jamais. On me dit oui, puis on me demanda comment montrer que B était un fermé de L1, je répondais « en passant par les suites » sans trop être convaincu. On me disait que c’était ça mais que nous n’avions plus le temps.
« Bonnes vacances » me souhaitèrent les membres du jury, ce à quoi je leur répondais : « Merci, vous aussi et bon courage pour cet après-midi ». J’étais libéré !

Très chalereux, en particulier celui qui avait la voix la plus profonde.

Pour mon dernier oral de l’année, je fus convoqué à 8h45. La pression n’était pas très forte alors que je n’étais pas à l’aise avec plusieurs développements calculatoires, j’étais surtout pressé que tout cela se terminât.

Nous avions toujours le droit au discours de la présidente du jury même s’il n’avait aucun intérêt ce jour-là. Un des membres de mon jury de la veille vérifia rapidement mes livres et mon rapport. Il fallait évidemment tout ranger soi-même dans la valise à la fin de l’épreuve.
Mon tirage fut le suivant : 203 (utilisation de la compacité) et 215 (applications différentiables). Je n’hésitai pas une seconde et choisis la 203. Mes deux développements furent « équivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz » ainsi que « théorème de Weierstrass via la convolution ». Je maitrisais bien ces développements. Une fois de plus, je fus très confiant en ce début d’épreuve, avais-je tort cette fois-ci ?
J’avais aussi un autre développement, à savoir « descente de gradient », mais je ne le connaissais pas bien, je l’avais simplement mis comme énoncé dans mon plan. Je songeais pendant un court instant à présenter le développement « décomposition polaire » pour me rattraper de la veille, mais je craignais qu’on me reprochât l’orientation algébriste de ce dernier.
Au bout d’une heure, j’avais rédigé mes développements et une esquisse de plan :
I) Définitions et propriétés
a. Borel Lebesgue
b. Bolzano Weierstrass
c. Autres propriétés
II) Utilisation avec fonctions continues
a. Théorème des bornes atteintes
b. Théorème de Heine
c. Théorème de Weierstrass
III) Utilisation des evn
a. Equivalence des normes en dimension finie
b. Applications
Je trouvais mon plan trop théorique alors que le rapport précisait bien que ce n’était pas une leçon sur la compacité, mais sur son utilisation, et ce fut là ma première inquiétude.
En 1h15 j’avais fini mon plan et je profitai du temps qui me restait pour refaire mes développements de mémoire ce qui me fut très utile.

Après l'oral, J’avais le sentiment d’avoir réussi cette épreuve et j’obtins la note de 18. Je pensais tout de même avoir moins, car le niveau auquel je m’étais placé pour le plan et pour les développements n’était pas très haut. D’ailleurs, les questions n’étaient pas dures.
Il est donc totalement inutile de faire une leçon difficile, même si vous en avez le niveau. Ce n’est pas le moment de se prouver des choses à soi-même.

18

203 : Utilisation de la notion de compacité.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

1. Pourquoi il existe a ∈ A tel que d(xn2,A) < α/3?
2. Est-ce que par hasard cet inf ne serait pas un min ?
3. Dans votre application (à savoir, si f : [0,1] → [0,1] continue, x0 ∈ [0,1] et xn+1 = f(xn) telle que xn+1 − xn → 0, alors (xn) converge), est-ce qu’on ne peut pas se passer du fait que [0, 1] est compact,et donc ne pas utiliser le théorème ?
4. Vous parler de convergence uniforme pour la convolution d’une fonction continue à support compact avec une approximation de l’unité, pourriez-vous en rappeler la définition.
5. Pouvez-vous donner un exemple d’une telle approximation?
6 .Justifier pourquoi ça en est bien une.
7. Avec votre def d’approximation de l’unité, les deux premiers ne vous feraient pas penser à qqch en terme de proba ?
8. Et alors avec le troisième point, comment pourrait-on l’interpréter ? (convergence en proba vers 0)
9. Vous avez dit qu’en dim finie, compact=fermé borné, pourriez-vous montrer que c’est faux en dim infinie.
10. Pourriez vous montrer que si xn → a, alors {xn, n ∈ N} ∪ {a} est compact ?
11. Si f : [0, 1] → C continue telle que \int_0^1 t^nf(t)dt = 0 ∀n, montrer que f = 0.

jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique, souriant.

Pas de réponse fournie.

14.75

203 : Utilisation de la notion de compacité.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Théorème de Stone-Weierstrass

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Je croyais que le dev allait etre trop long du coup j'ai admis un lemme (qui exhibe une suite de polynome qui CVU vers la valeur absolue sur [-1,1]. Finalement j'ai fini en moins de 10 min donc je leur ai proposé de quand meme démontrer le lemme et ils avaient l'air ok.
Ensuite j'ai eu quelques questions de précision sur le dév, et d'application de Stone Weierstrass (montrer que X compact => C(X) est séparable et une autre question dont je ne me souviens plus)

Sur le plan, pas trop de question pénible, j'avais mis le thm de prolongement de Tietze (en application a SW) et on m'a demandé de démontrer du coup le lemme d'urysohn dans le cadre métrique (qui dit que si on a 2 compacts disjoints alors on trouve une fonction continue qui vaut 1 sur l'un et 0 sur l'autre).

Ensuite j'ai du montrer que A = {(un) tq |un| < 1/2^n} était compact dans l^1(N)

Ensuite j'ai du montrer que si K est un compact convexe d'un evn, et f tq ||f(x)-f(y)|| <= ||x-y|| alors f admettait un point fixe.

Sympathique

pas de surprise j'avais préparé cette lecon pendant l'année

16

203 : Utilisation de la notion de compacité.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Continuité des racines d'un polynôme

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

C'était mon deuxième oral, j'étais beaucoup moins stressée qu'au premier. On m'a demandé de préciser quelque chose sur mon développement puis on m'a demandé de montrer qu'une suite à valeurs dans un compact qui a au plus une valeur d'adhérence converge (je l'utilisais dans mon développement et je l'avais juste très vite justifié à l'oral).
Question suivante : Comment définissez-vous la topologie quotient ? (j'en parlais dans mon plan à cause de ce développement où la topologie induite par la distance que je mets est en fait la topologie quotient) Je l'ai défini avec sa propriété universelle, ce qui a surpris le jury (apparemment c'est plus courant en algèbre qu'en analyse), du coup j'ai expliqué qu'il y avait deux manières de faire, soit on la définissait avec sa propriété universelle puis on la construisait pour montrer qu'on ne parlait pas sur du vide, soit on prenait sa construction pour définition et on montrait qu'elle vérifiait la propriété universelle et que c'était la seule (sur l'ensemble quotient).
Ensuite un membre du jury m'a demandé comment je définissais les compacts en topologie générale, j'ai répondu avec Borel Lebesgue (et le fait d'être séparé) et il m'a demandé si je connaissais un compact qui ne vérifie pas Bolzano Weierstrass.
J'ai répondu qu'en tout cas ça ne serait pas un compact métrique et j'ai cherché un peu, mais il m'a rapidement interrompu pour me dire que si je n'en connaissais pas je n'allais pas deviner. Un autre membre du jury m'a alors demandé de parler de la topologie de la convergence simple; il m'a guidé et j'ai compris qu'il avait l'air de vouloir que j'utilise un théorème de Tychonoff, mais celui qui me venait à l'esprit était dénombrable et là on n'était pas dans un cadre dénombrable; je leur ai fait part de ces réflexions et on est passé à des questions sur le plan (retour dans un cadre métrique du coup).
Je ne me souviens plus des questions exactes sur mon plan (qui avait deux parties, une sur l'utilisation de la compacité en lien avec la continuité (l'image continue d'un compact est compact, Rolle, Heine, Weierstrass... et beaucoup d'applications) et une sur Ascoli, Montel et le théorème de représentation conforme de Riemann (ce dernier étant admis)) mais elles étaient du style "Comment vous déduisez cette application de ce théorème ?" et aussi pourquoi je mettais le théorème de représentation conforme de Riemann (c'est parce qu'on utilise le théorème de Montel dans sa preuve, et qu'à mon avis ça se voit plus facilement que c'est un théorème utile (si on finit avec le théorème de Montel on reste sur sa faim à mon avis, en mode "à quoi ça sert ?")).
Ensuite un membre du jury m'a demandé si j'avais d'autres (que Montel) applications du théorème d'Ascoli, j'ai répondu le théorème de Cauchy Peano, et un membre du jury m'a demandé comment on le prouvait, j'ai donné une idée "avec les mains" (j'ai parlé des solutions epsilon approchées mais je ne me souvenais plus des définitions exactes, juste des grandes idées), puis un membre du jury m'a demandé "Et avec un ordinateur on fait comment ?" du coup j'ai expliqué le coup des tangentes et de faire quelque chose d'affine par morceaux, et on est passé aux exos. Chaque membre du jury m'a posé un exo.
Exo 1 : Soient (E,||.||) un evn, X un compact de E, f : X -> X telle que pour tous x et y distincts || f(x) - f(y) || < || x - y ||. Montrez que f a un unique point fixe.
Exo 2 : Soient (E,||.||) un evn, K un compact de E. Notons L la réunion sur (x,y) dans K^2 des segments [x,y]. Montrez que L est compact.
Exo 3 : Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans C, dérivables sur ]0,1[, telle que la suite des dérivées (f'_n) est bornée dans L^2. Montrez que (f_n) converge uniformément.
Pour l'exo 3, [SPOILER RÉPONSE] j'ai réussi à borner (f_n) avec une méthode ad hoc (je me suis aperçue après coup que le jury s'attendait à du Cauchy Schwarz mais là j'ai utilisé |f'_n| <= 1 + |f'_n|^2), puis j'ai compris que le jury voulait que j'utilise Ascoli donc j'ai essayé de montrer l'équicontinuité, mais la même méthode était trop bourrin cette fois-ci, me voyant bloquée un membre du jury a dit "les f'_n sont dans L^2" et j'ai eu le déclic - Cauchy Schwarz !-, puis avec le théorème d'Ascoli j'ai résolu l'exo, ce qui a conclu mon oral.

Les trois membres du jury étaient très souriants et encourageants, du début à la fin de l'oral. J'ai pu cherché les exercices tranquillement, et le jury était toujours intéressé par ce que je faisais, même si c'était inattendu (par exemple pour le deuxième exo je pensais qu'il était plus compliqué qu'il ne l'était vraiment, du coup j'ai fait un cas particulier (K un ensemble fini de R^2, je faisais des dessins pour voir à quoi ressemblait L), ça a interloqué le membre du jury qui m'avait posé l'exo mais il m'a demandé d'expliquer ce que je faisais et il ne m'a pas interrompu, et j'ai eu le déclic [SPOILER RÉPONSE] de faire des extractions successives). Il n'y avait pas de temps mort et en même temps le jury ne me pressait pas, entre ça et leurs sourires (sur les visages et dans les voix) c'était vraiment le jury idéal.

Le temps passe très vite, je n'ai eu le temps que de mettre une vingtaine d'items alors que quand je faisais les plans chez moi j'en mettais au moins une cinquantaine. J'ai aussi été surprise qu'il y ait des questions de topologie générale alors que le rapport du jury insistait sur le cadre métrique, mais le jury n'avait pas l'air trop déçu que je n'arrive pas à répondre à ses questions de topologie générale, donc ça allait.

17

203 : Utilisation de la notion de compacité.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

Théorèmes de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Nota : dans mon développement, je n’ai présenté que les grandes lignes de la preuve de Glivenko-Cantelli, mais j’ai démontré avant le théorème de Heine.

Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples dans un premier temps, et en particulier sur mon développement (qui était présenté de manière trop brouillon). Le jury a aussi voulu vérifier que j’avais moyen de finir la preuve de Glivenko-Cantelli, et m’a donc demandé de compléter ces grandes lignes, m’interrompant quand il était certain que je connaissais la preuve complète.

Le jury a beaucoup insisté sur le théorème du maximum et sur ses conséquences. Il m’a demandé quelques précisions sur les énoncés assez théoriques que j’avais pu mettre (par exemple, j’ai beaucoup insisté sur les liens avec la complétude), mais ce n’était pas le cœur du sujet.

Beaucoup de questions étaient très simples, voire triviales, du type : une fois prouvé Bolzano-Weierstraß, comment prouver la complétude de R ? Comment démontrer le théorème des compacts emboîtés ? Etc.

J’ai placé dans mon plan énormément d’énoncés éloignés du sujet qui venaient illustrer une application de la compacité que j’avais appris comme développements pour des leçons qui n’avaient rien à voir. Par exemple, j’ai cité le théorème du point fixe de Brouwer, pour lequel on montre à un moment qu’une partie est la sphère toute entière parce qu’elle est ouverte, et fermée en tant qu’image continue d’un compact. Le jury m’a clairement tendu une perche pour donner les grandes lignes de la démonstration en insistant sur l’endroit où intervenait la compacité.

Le seul exercice un peu élaboré (manifestement classique, mais que je ne connaissais pas) était : que peut-on dire d’une isométrie d’un espace métrique compact ? Après quelques hésitations à proposer des choses assez peu intéressantes, j’ai entendu un juré souffler à un autre « surjectivité », et j’ai proposé ça en l’enrobant comme si ça venait de moi. Il m’a fallu dix bonnes minutes et plusieurs pistes du jury pour y arriver, mais j’étais toujours dans une posture très « active ».

Le membre du jury du milieu avait une posture assez sévère, mais n’était pas cassante pour autant. Son voisin de gauche était beaucoup plus « doux », mais parlait peu et tiquait parfois ostensiblement. Le troisième juré était transparent.

C’était mon premier oral d’agrég (candidat libre, je n’avais jamais fait d’oral blanc), et sous le stress, j’étais assez brouillon dans mon développement, cherchant à aller trop vite au prix de la clarté. J’ai donc écrit trop gros, et le jury s’est assez énervé lorsque j’ai demandé à effacer le tableau pour la deuxième fois, et a refusé, me forçant à écrire en très petit dans un coin libéré.

Du fait qu’ils insistaient pour que je puisse « revenir sur le début du développement », je pensais que j’avais commis de lourdes erreurs, mais en réalité les premières questions posées étaient des trivialités et des précisions de notations (« pourquoi déduisez-vous de d(x,y) = 0 que x = y » et autres…).

Je n’ai pas eu le temps de bien finir mon brouillon de plan (je m’étais donné cinquante minutes pour rédiger), et j’ai donc commis deux fautes importantes dans l’ordre des énoncés sur la fin. Cependant, je m’en suis rendu compte après que mon plan soit parti à la photocopie, et j’ai pu dès la défense du plan signaler au jury l’erreur sur l’ordre. Je pensais que le jury insisterait sur cette partie (qui est en plus signalée dans le rapport comme posant des difficultés aux candidats quant à l’existence de raisonnements circulaires), mais il n’a en fait rien demandé dessus.

Comme indiqué supra, c’était mon premier oral d’agrég. Bien que connaissant très bien la plupart de mes développements, j’ai perdu mes moyens lors de la préparation et j’ai facilement perdu une demi-heure à compléter un passage absurdément simple.

Ma seule vraie surprise portait sur le fait que le jury était extrêmement pointilleux sur la présentation, la mise en forme du raisonnement, et que certaines étapes paraissant triviales pouvaient faire l’objet de plusieurs « vous pouvez détailler ? » à la suite.

18.25

203 : Utilisation de la notion de compacité.

263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

Ellipsoïde de John Loewner

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Bienveillant

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.

Théorème du point fixe de Brouwer

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...

Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...

Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
une indication et pof...

Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.

Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.

Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).

Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...

Pas de réponse fournie.