Leçon 235 : Problèmes d’interversion de symboles en analyse

(2024) 235

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.) L'intitulé de cette leçon a été volontairement élargi afin de permettre explicitement aux candidats d'aborder des problèmes plus diversités de permutations de symboles, qu'il s'agisse de limites, d'intégrales, de dérivées, d'espérances. Le choix est large ! Les candidats pourront également inclure dans leur leçon des exemples de permutations de quantificateurs, obtenus par des arguments de compacité ou (pour les candidats aguerris) utilisant le théorème de Baire. Dans tous les cas, on évitera de présenter un catalogue désincarné d'énoncés, en privilégiant les exemples et applications significatifs.

(2019 : 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.) Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau élémentaire, on peut insister sur le rôle de la convergence uniforme (et donc, dans le cas de séries de fonctions bornées,de la convergence normale.) Les théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et les théorèmes d’interversion de Fubini-Tonelli et Fubini sont des attendus de cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces résultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion voulue. Le jury note que ces différents points posent problème à de nombreux candidats, qui sont mis en difficulté sur des exemples assez simples. Ils sont donc invités à consolider ces notions avant de s’aventurer plus loin. $\\$ Pour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée deFourieret/ou de la transformée de Laplace avec des exemples et des applications.
(2017 : 235 - Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.) Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau éléméntaire, on peut insister sur le rôle de la convergence niforme, ou de la convergence normale (dans le cas de séries de fonctions). Les théorèmes de convergence dominée, de convergence monotone et le théorème de Fubini (et Fubini-Tonelli) ont leur place dans cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces réultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion tant désirée. Pour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée de Fourier et/ou de la transformée de Laplace.
(2016 : 235 - Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.) Cette leçon s’intéresse aux problèmes d’interversion limite-limite, limite-intégrale et intégrale-intégrale. Il ne s’agit pas de refaire un cours d’intégration. On pourra toutefois mettre en évidence le rôle important joué par des théorèmes cruciaux de ce cours. À un niveau élémentaire, on peut insister sur le rôle de la convergence uniforme, ou de la convergence normale (dans le cas de séries de fonctions). À un niveau plus avancé, les théorèmes de convergence dominée, de convergence monotone et le théorème de Fubini (et Fubini-Tonelli) ont leur place dans cette leçon. On choisira des exemples pertinents pour illustrer l’intérêt de chacun de ces réultats, mais on pourra aussi exhiber des contre-exemples montrant que des hypothèses trop faibles ne permettent pas en général d’effectuer l’interversion tant désirée. Pour les candidats qui le souhaitent, on pourra parler de la transformée de Fourier et/ou de la transformée de Laplace.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de symboles en analyse

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Continuité et convergence uniforme
    1) Continuité
    2) Convergence uniforme d'une suite de fonctions
    3) Fonction limite et régularité
    II. Séries numériques, séries de fonctions
    1) Série uniformément convergente
    2) Séries entières (DVT : thm d'Abel)
    III. Intégrale
    1) Fubini et série double
    2) Convergence monotone et dominée
    3) Intégrales à paramètres
    IV. App : équation de la chaleur
    1) Séries de Fourier (cn(f')=incn(f))
    2) DVT : résolution équation de la chaleur

2024 : Leçon 235 - Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime bien cette leçon, elle est assez rapide à préparer et les parties qui la composent se recasent très bien. Bien connaître les hypothèses des différents théorèmes d'interversion est nécessaire.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !

2023 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion en analyse.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.


2020 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.


2018 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.


2017 : Leçon 235 - Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.


Retours d'oraux :

2018 : Leçon 235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

  • Leçon choisie :

    235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

  • Autre leçon :

    245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C . Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Equation de la chaleur sur un anneau

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Nombreuses questions autour des séries de Fourier (j'avais mis peu de théorème sur ma feuille et j'étais allé un peu vite sur le développement). Rien de totalement hors des clous.

    On m'a demandé ce que j'aurais ajouté comme applications en plus (j'avais dit dans ma présentation que je n'avais pas pu tous les citer car la leçon est très dense et que je n'avais pas forcément eu la place d'être exhaustive dans cette partie) : j'ai répondu que l'on pouvait parlé de prolongement de fonctions, comme la fonction Gamma ou encore montrer que les polygones orthogonaux forment une base de L^2. C'était deux autres développements que j'avais préparé.

    J'ai eu des questions sur une de mes applications (dénombrement des solutions d'une équation diophantienne) qui utilisait juste un produit de Cauchy, notamment sur sa pertinence dans le plan.

    Pour finir, le jury qui avait l'air de beaucoup aimé les séries de Fourier m'a demandé de montré l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant la fonction énergie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Deux jurys fort sympathique et un troisième qui m'a posé l'essentiel des questions autour des séries de Fourier pas forcément toujours en douceur.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les plans sont ramassée 10 minutes avant la fin, soit presque 20 minutes avant le passage devant le jury.

  • Note obtenue :

    9.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 106 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 101 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 45 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 105 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 29 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 64 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 54 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 47 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 33 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 88 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 88 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Théorie des distributions , Bony (utilisée dans 8 versions au total)