Leçon 223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

(2024) 223

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.) L'utilisation des valeurs d'adhérence pour montrer des convergences ou des continuités, ainsi que celle des limites inférieures et supérieures d'une suite réelle (qui permettent des rédactions expurgées d'epsilons superflus) sont des thèmes centraux. Le théorème de Bolzano-Weierstrass ainsi que celui de Cesàro, que les candidates et candidats doivent savoir démontrer, sont incontournables dans cette leçon. Sans se limiter aux cas convergents, on peut également présenter des exemples d'études asymptotiques de suites définies par des sommes ou des relations de récurrence, voire implicitement. D'autres pistes, comme les différentes méthodes d'approximation des réels par des irrationnels, la résolution numérique d'équations et leur vitesse de convergence peuvent être explorées. Les candidates et candidats solides peuvent s'intéresser par exemple à l'équirépartition, à l'étude de systèmes dynamiques discrets, à l'accélération de la convergence, aux procédés de sommation des séries divergentes et aux théorèmes taubériens qui en découlent.

(2022 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.) Cette leçon est limitée aux suites réelles ou complexes. L'utilisation des valeurs d'adhérence pour montrer des convergences ou des continuités, ainsi que celle des limites inférieures et supérieures d'une suite réelle (qui permettent des rédactions expurgées d'epsilons superflus) sont des thèmes centraux. Sans se limiter aux cas convergents, les candidats pourront également présenter des exemples d'études asymptotiques de suites définies par des sommes, des relations de récurrence, voire implicitement. D'autres pistes sont les différentes méthodes d'approximation des réels par des irrationnels ou la résolution numérique d'équations. Les candidats solides pourront s'intéresser par exemple à l'équirépartition, à l'accélération de la convergence, aux procédés de sommation des séries divergentes et aux théorèmes taubériens qui en découlent.
(2019 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.) Cette leçon permet souvent aux candidats de s’exprimer. Il ne faut pas négliger les suites de nombres complexes mais les suites vectorielles (dans $\textbf{R}^n$) ne sont pas dans le sujet. Le jury attire l’attention sur le fait que cette leçon n’est pas uniquement à consacrer à des suites convergentes, mais tout comportement asymptotique peut être présenté. Le théorème de Bolzano-Weierstrass doit être cité et le candidat doit être capable d’en donner une démonstration. On attend des candidats qu’ils parlent des limites inférieure et supérieure d’une suite réelle bornée, et qu’ils en maîtrisent le concept. Les procédés de sommation peuvent être éventuellement évoqués mais le théorème de Cesàro doit être mentionné et sa preuve maîtrisée par tout candidat à l’agrégation. Les résultats autour des sous-groupes additifs de $\textbf{R}$ permettent d’exhiber des suites denses remarquables et l’ensemble constitue un joli thème. Des thèmes des leçons 225, 226 et 264 peuvent également se retrouver dans cette leçon. $\\$ Pour aller plus loin, un développement autour de l’équirépartition est tout à fait envisageable. La méthode de Newton peut aussi illustrer la notion de vitesse de convergence.
(2017 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.) Cette leçon permet souvent aux candidats de s’exprimer. Il ne faut pas négliger les suites de nombres complexes. Le théorème de Bolzano-Weierstrass doit être cité et le candidat doit être capable d’en donner une démonstration. On attend des candidats qu’ils parlent des limites inférieure et supérieure d’une suite réelle bornée, et qu’ils en maîtrisent le concept. Les procédés de sommation peuvent être éventuellement évoqués mais le théorème de Cesàro doit être mentionné et sa preuve maîtrisée par tout candidat à l’agrégation. Les résultats autour des sous-groupes additifs de R permettent d’exhiber des suites denses remarquables et l’ensemble constitue un joli thème. Des thèmes de la leçon 226 peuvent également se retrouver dans cette leçon. Pour aller plus loin, un développement autour de l’équirépartition est tout à fait envisageable. La méthode de Newton peut aussi illustrer la notion de vitesse de convergence.
(2016 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications. ) Cette leçon permet souvent aux candidats de s’exprimer. Il ne faut pas négliger les suites de nombres complexes. Le théorème de Bolzano-Weierstrass doit être cité et le candidat doit être capable d’en donner une démonstration. On attend des candidats qu’ils parlent des limites inférieure et supérieure d’une suite réelle bornée, et qu’ils en maîtrisent le concept. Les procédés de sommation peuvent être éventuellement évoqués mais le théorème de Cesàro doit être mentionné et sa preuve maîtrisée par tout candidat à l’agrégation. Les résultats autour des sous-groupes additifs de R permettent d’exhiber des suites denses remarquables et l’ensemble constitue un joli thème. Pour aller plus loin, un développement autour de l’équirépartition est tout à fait envisageable.
(2015 : 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.) Le théorème de Bolzano-Weierstrass doit être cité et le candidat doit être capable d'en donner une démonstration. On attend des candidats qu'ils parlent des limites inférieure et supérieure d'une suite réelle (bornée), et qu'ils en maîtrisent le concept.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 223 - Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Ebauche/Brouillon/Meta plan réalisé l'année 2023-2024 et non vérifié par une personne compétente.

    Mon conseil : prenez ce qui vous semble pertinent et faites simple. Pas besoin de faire compliqué pour avoir l'agreg.

    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Suites numériques
    1) Suite et convergence
    2) Cas des suites réelles
    3) Etude asymptotique (DVT : Stirling)
    4) Convergence en moyenne de Cesàro
    II. Valeurs d'adhérence
    1) Généralités
    2) Critère de Cauchy
    3) Compacité
    III. Suites particulières: Séries, suites récurrentes
    1) Séries
    2) Suites récurrentes
    3) Thm du point fixe
    4) Applications (DVT : Newton, DVT : Gradient à pas opti, DVT : suite de polygones)
  • Fichier :

2024 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Une leçon qui contient des résultats hyper classiques. Le Amrani est parfait pour la remplir.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette leçon paraît facile mais en réalité elle me faisait peur... En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... En plus, je trouve que les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles, il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet.
    J'ai choisi de parler de vitesse et d'accélération de convergence car je ne connaissais pas avant de faire cette leçon, ça m'a permis d'apprendre des choses. On peut aussi parler de suites équiréparties...
    Mon DEV1 n'a pas de référence, mais il y a la méthode générale pour étudier une suite récurrente dans le Bernis, et il suffit de l'appliquer à Arctan.
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

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  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.


2020 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Comme Marvin, je pense que c'est une des leçons les plus risquées de par son apparente simplicité. On ne pardonnera pas la moindre erreur ou approximation....

    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis passée sur cette leçon à l'oral (cf mon retour d'oral), j'avais enlevé la dernière partie par manque de temps (il me fallait du temps pour mon développement que je ne connaissais plus très bien) et un peu moins étoffé la partie suite récurrentes (de mémoire j'avais enlevé les suites récurrentes linéaires)
    Cette leçon doit être bien pensée à l'avance car l'articulation des premières parties n'est pas forcément évidente comme ce sont des choses que nous connaissons depuis longtemps.
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2019 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.


2018 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications


2017 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.


2016 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2020 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    250 : Transformation de Fourier. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Connexité valeurs d'adhérence suite dans un compact

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On m’a tout d’abord demandé quelques précisions sur le développement (il y avait quelques imprécisions) , sur le développement on m’a aussi demandé
    comment je faisais pour extraire une sous suite d’éléments de K à partie de ce que j’avais démontré
    Un exercice en rapport avec le développement :
    La fonction de [0,1] dans [0,1] définie par f(x)=2x si x<0.5 et 2(1-x) sinon, que dire sur la suite des itérés. On me suggère de tracer la fonction.
    Je trace la fonction et je vois qu’elle est continue je dis donc que si la suite converge c’est vers un point fixe, on me demande alors quels sont les points
    fixe, je dis que 0 en est un puis je regarde sur mon dessin si il y a une autre intersection avec y=x : il y en a une donc je fais le calcul exact : 2/3 est un
    point fixe. On me demande donc de regarder ce qu’il se passe autour de ces points fixes : je dessine les itérés en prenant deux valeurs différents de
    condition initiale je vois qu’on ne va pas converger vers le point fixe : pour le point fixe 0 on me demande d’expliquer : je dis que si je m’éloigne de ce
    point car f(x)=2x est donc plus grand que x. On me demande de faire un lien avec la dérivée : je dis que la dérivée aux points fixes est plus grande que 1
    donc les points sont répulsif. On me demande de montrer ça : j’utilise les accroissements finis pour montrer qu’on s’éloigne du point fixe.
    Autre question en rapport avec le développement : est ce que je connais une suite telle que d(un, un+1) tend vers 0 mais la suite ne converge pas ; je
    donne la suite des sommes partielles de la série harmonique.
    Ensuite j’ai eu un exercice où je devais montrer qu’une certaine suite de fonction n’admettait pas d’extractrice qui fasse converger la suite pour tout x
    (c’était une suite du genre e^inx)
    D’abord on m’a demandé pourquoi à x fixé j’avais bien une valeur d’adhérence : j’ai dit que la suite était bornée donc elle a bien une valeur d’adhérence.
    Ensuite j’ai du supposer que j’avais une extractrice fonctionnant pour tous les x, en intégrant fn*g sur un segment avec les bonnes hypothèses sur g
    j’avais la convergence de l’intégrale vers l’intégrale de f*g. Or on m’a fait montrer que l’intégrale de fn*g tendait vers 0 si j’avais g de classe C1 (par ipp)
    puis si j’avais g dans L1 (par densité). Ainsi on obtenait l’intégrale de f*g qui était nulle pour toute fonction g L1 et nous n’avons pas eu le temps de
    conclure.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était encore une fois très gentil et aidant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.25


2015 : Leçon 223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    209 : Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Il n'y a pas eu beaucoup d'exercices, ils étaient moyens sans indication, faciles avec.

    Exo 1 : Sauriez-vous montrer que $u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ converge en n'utilisant aucun outil théorique sur les séries ?

    Indication : Considérer $v_n=u_n+\frac{1}{n(n!)}$

    Exo 2 : On considère $(u_n)$ une suite réelle positive telle que : $\forall n,p\in N, u_{n+p}\leq u_n+u_p$. Montrer que $\frac{u_n}{n}$ converge

    Indication : Montrer que ça converge vers $inf \frac{u_n}{n}$

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    J'ai eu pas mal de questions sur mon plan, beaucoup de petites questions qui me faisaient approfondir des items de mon plan. Un des membres du jury (Torossian crois-je) est beaucoup revenu sur le fait que j'avais parlé de suites de v.a réelles dans mon plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral était pas terrible, je me suis planté en faisant Stirling ce qui est loin d'être glorieux. Sinon le jury était neutre, il ne semblait ni emballé ni lassé.

  • Note obtenue :

    12.75


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 88 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 42 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 56 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 7 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 45 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 42 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 42 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Analyse numérique, Une approche mathématique, Michelle Schatzman (utilisée dans 5 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Suites et séries, Jean Combes (utilisée dans 1 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 74 versions au total)