Développement : Calcul de $\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t$

Détails/Enoncé :

Pour $\alpha \in ]0,1[$, on a $$\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t = \Gamma(\alpha)\operatorname{e}^{i\alpha\frac{\pi}{2}}$$
Pour $\alpha = \frac{1}{2}$, sachant que $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$, on retrouve l'intégrale de Fresnel.

Le calcul se fait par l'introduction de deux intégrales à paramètres. On calcule la première en trouvant une équation différentielle, et on montre la continuité de la deuxième en introduisant une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers elle.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Le lemme doit figurer dans le plan. On doit savoir le démontrer, mais il ne faut pas le faire au tableau (trop long). La vraie preuve commence en bas de la première page.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)