Développement : Calul d'intégrales par équations différentielles

Détails/Enoncé :

Soit $t\in\mathbb{R}$. Alors:
$$ I(t)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\cos(xt)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{(1+t^2)^{1/4}}\cos(\frac{1}{2}\arctan t) $$
$$ J(t)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\sin(xt)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{(1+t^2)^{1/4}}\sin(\frac{1}{2}\arctan t) $$

On montre que la fonction $I+iJ$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1.

Réf: Berthelin, exo corrigé 2.52

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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 82 versions au total)