Développement : Equation de Schrödinger dans une boîte en dimension $d$

Détails/Enoncé :

On trouve par analyse synthèse, en utilisant les coefficients de Fourier sur le tore $\mathbb{T}^d$, toutes les solutions de l'équations de Schrödinger dans la boîte $B=[0,\pi]^d$, en imposant des conditions de Dirichlet homogène au bord, donc les $u:\mathbb{R}\times B \longrightarrow \mathbb{C}$ dans $\mathcal{C}^1_t \cap \mathcal{C}^2_x$ tels que :
$$
\left\{~\begin{aligned}
\partial_t u(t,x) &= ~ i \Delta_x u(t,x)& \mbox{ si } (t,x)\in\mathbb{R} \times B\,\,\,\\
u(t,x) &= ~ 0 & \mbox{ si } (t,x) \in\mathbb{R} \times\partial B
\end{aligned}\right.
$$
On montre que les solutions sont les $u:\mathbb{R}\times B \longrightarrow \mathbb{C}$ dans $\mathcal{C}^1_t \cap \mathcal{C}^2_x$ qui s'écrivent :
$$u(t,x)=\sum_{n\in{\mathbb{N}^*}^d} c_n \, e^{-i|n|^2t}\, \sin(n_1\,x_1)\times \cdots \times\sin(n_d\,x_d) \qquad \mbox{où}\quad(c_n)_{n\in{\mathbb{N}^*}^d}\in \ell^0({\mathbb{N}^*}^d)$$

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