Classification des groupes d'ordre p^2 et 2p

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Décomposition de Dunford

Ce développement est peut-être un peu court... On peut donc rajouter un autre corollaire pour le faire tenir en 15 minutes.

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Décomposition LU et de Cholesky

Lorsque la leçon s'oriente vers les formes quadratiques (157 - 170 - 171) il est préférable de démontrer le critère de Sylvester et la décomposition de Cholesky et dans les autres cas (154 - 162) il vaut mieux démontrer la décomposition LU et de Cholesky.

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Dénombrement des endomorphismes nilpotents sur un corps fini

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Dénombrement des polynômes unitaires irréductibles sur un corps fini

Si le développement est trop court on peut montrer en plus que pour tout entier naturel non nul n et tout q = p^m on a I(n,q) >= 1.

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Déterminant circulant et suite de polygones

Le développement est un peu long alors il faut aller assez vite sur les calculs.

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Dual de M_n(K)

Si le développement est un peu court, on peut rajouter un ou deux résultats supplémentaires.

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Étude de la fonction Γ sur R

Si le développement est trop court on peut montrer en plus la formule d’Euler-Gauss.

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Exposant d'un groupe

Si le développement est un peu court on peut rajouter en plus l'ordre de x^d pour x dans G d'ordre fini et d un entier naturel non nul.

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Formule de Stirling par le TCL

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Formule de Stirling

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Formule d’Euler-Maclaurin

Le développement est un peu long alors il faut aller assez vite sur les calculs et bien connaître le développement (en particulier les calculs). De plus, il faut bien défendre le développement pour la leçon 223 en insistant sur l'exemple.

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Générateurs de SL_n(K) et GL_n(K)

Il faut bien défendre le développement pour la leçon 162 en insistant sur le fait qu'on effectue moralement un pivot de Gauss lorsque l'on démontre le théorème.

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Groupe des isométries du cube

Il faut bien penser à faire un dessin au début du développement pour mieux illustrer les résultats.

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Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)

Si le développement est un peu court on peut rajouter en préambule un lemme sur le lien entre norme subordonnée et rayon spectral pour une matrice M de GL_n(C).

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Illustration du théorème des résidus

Il faut faire attention aux calculs dans ce développement car on peut vite s'embrouiller ! Si on veut jouer la sûreté on peut ne pas faire le lemme préliminaire pour être sûr d'avoir du temps en cas de soucis (quitte à le faire à la fin du développement s'il reste du temps).

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Injectivité de la transformation de Fourier

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Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Il faut bien défendre le développement pour la leçon 125 en insistant sur le corollaire. De plus, si le développement est un peu court on peut redémontrer le lien entre les éléments irréductibles de A[X] et ceux de Frac(A)[X] ou bien redémontrer que les polynômes cyclotomiques sont bien dans Z[X].

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Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R

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Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)

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Convergence de la méthode de Newton

Si le développement est un peu court on peut prendre le temps d'expliquer la philosophie de la méthode ou bien faire un dessin pour illustrer ce qu'il se passe.

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Polynômes orthogonaux

Il faut bien défendre le développement pour la leçon 250 en insistant sur le fait que la fonction F est une "transformée de Fourier généralisée" (car définie sur un domaine du plan complexe et pas uniquement sur R). De plus, si le développement est un peu court alors on peut donner un contre-exemple si l'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée ou bien en déduire une base hilbertienne de L^2(R).

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Étude du processus de Galton-Watson

Lorsque la leçon s'oriente vers l'analyse (228 - 229 - 253) il est préférable de démontrer le lemme et le théorème et dans les autres cas (226 - 264 - 266) il vaut mieux démontrer la proposition et le théorème.

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Résolution d’une EDO par DSE

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Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

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Simplicité de SO_3(R)

Si le développement est un peu court on peut montrer que les renversements engendrent SO_n(R) ou bien qu'ils sont conjugués dans SO_n(R).

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Surjectivité de l’exponentielle matricielle

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Le théorème d’Abel angulaire

Si le développement est trop court on peut ne pas faire l'exemple et plutôt montrerle théorème taubérien faible.

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Théorème de Banach-Steinhaus

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Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

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Le théorème de Cauchy-Lipschitz local

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Le théorème de Féjer

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Théorème de Gauss-Wantzel

Ce théorème n'a pas l'air d'utiliser d'outils sophistiqués mais il n'en est rien ! En effet, on utilise au tout début du développement qu'un nombre a est constructible si, et seulement si, le degré de l'extension L/Q avec L le corps de décomposition de a sur Q est une puissance de 2. Ce résultat est très puissant mais est assez difficile à démontrer : il faut utiliser le fait que l’extension est galoisienne pour en déduire que le groupe de Galois est un 2-groupe pour en déduire qu’il est résoluble (les p-groupes le sont de manière générale) puis conclure avec la correspondance de Galois. Pour la réciproque, il faut utiliser la clôture galoisienne pour montrer que l’extension C/Q est normale (avec C le corps des nombres constructibles à la règle non graduée et au compas) pour conclure grâce au théorème de l’élément primitif.

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Théorème de Lévy et théorème central limite

Lorsque le leçon s'oriente vers les formules de Taylor (209 - 218) il est préférable de démontrer le lemme 3, la proposition 4 et le théorème 5 et dans les autres cas (234 - 235 - 239 - 241 - 244 - 250 - 261 - 262) il vaut mieux démontrer le lemme 1 et les théorèmes 2 et 5.

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Théorème de projection sur un convexe fermé

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Le théorème de Riesz

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Théorème de Weierstrass

Le développement est un peu court alors il faut prendre son temps et bien détailler toutes les étapes (ou alors faire une autre application en plus).

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Le théorème des deux carrés

Si le développement est trop court on peut également donner les irréductibles de Z[i].

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Théorème des restes chinois et application

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Théorème d’inversion locale

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Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...).

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Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.

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Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Il y a énormément de choses à dire dans cette leçon et je n'ai pas réussi à faire un choix alors j'ai décidé de tout laisser pour donner un large point de vue sur ce qui était faisable. Les deux dernières parties sont hors programme donc pas nécessaires (sauf le paragraohe où l'on s'intéresse à des sous-groupes distingués) mais si jamais on parle d'une des parties il faut bien être au point dessus au risque d'en subir les conséquences pendant l'oral...
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année et la partie géométrie est appréciée du jury.

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Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon ressemble beaucoup à celle juste au dessus (étrange...) !
On peut faire cette leçon en très (très !) grande majorité avec le Berhuy. Il faut éviter de faire énormément de rappels et il est préférable de donner beaucoup d'exemples et de les diversifier (par exemple en consacrant un petit bout de la leçon aux sous-groupes finis du groupe linéaire ou de ses sous-groupes).
La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.

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Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut parler des classes de conjugaison et connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints et savoir l'appliquer en pratique.

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Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Il faut se concentrer dans cette leçon sur l'aspect algébrique du groupe linéaire et l'étudier en tant que groupe en parlant de générateurs, sous-groupes remarquables, actions de groupes, etc. On peut également pousser un peu plus les choses avec les groupes projectifs et les isomorphismes exceptionnels. Il faut également garder une petite place pour parler des propriétés topologiques de cet espace (connexité, sous-groupes compacts, ...).

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Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs et essayer de donner le plus d'exemples possibles au aussi variés que possibles : groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal, etc. Les groupes d'isométries des solides platoniciens sont également un bon investissement à faire pendant l'année.

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Anneaux Z/nZ. Applications.

Dans cette leçon on doit s'intéresser à Z/nZ en tant que groupe mais surtout en tant qu'anneaux et donner le plus d'applicatiosn diverses possibles (RSA, caractéristique d'un anneau, théorème de Dirichlet faible, ...). Il faut également savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans Z/nZ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.

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Nombres premiers. Applications.

Cette leçon est très vaste et il faut faire des choix, c'est donc l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise ! Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat et il est donc difficile de se démarquer dessus et les candidats sont censés bien maîtriser le sujet... Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant très longues) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (le théorème de Dirichlet faible).
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.

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Anneaux principaux. Exemples et applications.

Dans cette leçon il faut connaître les implications entre les différents types d'anneaux (euclidiens, principaux, factoriels, etc.) et connaître des contre-exemples. Il faut également savoir ce que chaque catégorie d'anneaux apporte par rapport aux autres.

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Corps finis. Applications.

Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps fini à q = p^n éléments et surtout construire par exemple F_4 ou F_9 explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut également savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans F_q.

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Extensions de corps. Exemples et applications.

La grande majorité de la leçon peut être faire uniquement en utilisant le Perrin !
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !
Le jury considère cette leçon comme difficile et donc maîtriser la base suffit.

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Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Cette leçon est nouvelle donc on ne connaît pas encore exactement les attentes du jury mais les anneaux de la forme Z[w] et les nombres algébriques semblent indispensables. Parler du corps des nombres constructibles peut être un bon investissement car ce n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs autres leçons.

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Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

La majeure partie de cette leçon peut être faite avec le Perrin (surtout les extensions de corps). Il faut donner des critères d'irréductibilité avec des applications et arriver à les mixer avec la théorie des corps et si possible parler un peu d'algèbre linéaire avec le polynôme minimal et ce qu'il apporte. Il faut également savoir montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme F_4 ou F_9 avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses, etc.).
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !

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PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Cette leçon ressemble beaucoup à la 122 sur les anneaux principaux mais il est possible de parler d'autres sujets comme par exemple de l'algorithme de Smith que je n'ai pas abordé ici.

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Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...

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Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Cette leçon est vaste et il y a beaucoup de choses à dire ! Il est notamment possible de parler de théorie des corps avec le théorème de la base télescopique puisque ces notions exploitent entièrement les idée d'espace vectoriel de dimension finie.
Je pense aussi que c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attends un niveau assez élevé dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démonstrations (au moins les idées).

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Déterminant. Exemples et applications.

Cette leçon est assez vaste et le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) fait assez l'affaire car donne toutes les définitions et propriétés de base ! Bien qu'il s'agisse d'une leçon d'algèbre il peut être bien de parler des applications du déterminant en analyse.

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Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Les endomorphismes cycliques sont importants dans cette leçon et on peut aller jusqu'à la décomposition Frobenius et les résultats théoriques qui suivent si on le désire (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique avec l'algorithme de Smith).
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.

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Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Exponentielle de matrices. Applications.

Cette leçon est l'occasion de découvrir/approfondir la notion de rayon spectral et de découvrir pas mal de petites choses et même de bien faire le point (voire de découvrir) l'exponentielle matricielle.

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Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés vaut le coup car c'est un peu la "finalité" de cette théorie. Les démonstrations sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique !
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...

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Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Cette leçon se fait (quasiment) uniquement avec le Gourdon d'algèbre et probabilités et le Rombaldi et il suffit d'avancer dans les pages et de se laisser guider. Il faut faire le lien entre les formes bilinéaires/quadratiques et les matrices symétriques et parler également de calcul différentiel avec la recherche d'extrema.

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Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Pour cette leçon il n'y a qu'à suivre le Rombaldi et se laisser guider ! Il faut savoir démontrer le théorème spectral et classifier une isométrie vectorielle en dimension 2 ou 3 matriciellement. Il est indispensable de parler des endomorphismes orthogonaux, symétriques et symétriques (définis) positifs et on peut également ajouter les endomorphismes normaux si on les a travaillés.

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Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.

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Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).

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Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Si l'on utilise pas le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) il est difficile de trouver une référence qui en parle de manière complète... Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené et du pivot de Gauss et surtout illustrer par des exemples et applications diverses.

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Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.

Cette leçon demande beaucoup de travail car les formes quadratiques ne sont quasiment plus dans les programmes de CPGE ou de fac. Ça vaut le coup de les travailler pour prendre du recul sur plein de choses et surtout parce que ce n'est pas négligeable au programme de l'agrégation !
Il est indispensable de savoir mettre en œuvre la méthode de Gauss en pratique pour décomposer en carrés et de savoir classifier des formes quadratiques sur différents corps (C, R et F_q).

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Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans R uniquement. Ainsi, il faut savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base q-orthogonale, etc. afin de les classifier.
Quant aux coniques, elles ne sont plus du tout enseignés donc il faut tout apprendre dessus et il y a malheureusement très peu de références où les choses sont vraiemnt bien faites pour bien découvrir les choses... Il y a le Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3). Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer donc il faut essayer de prendre du recul pour bien comprendre les objets (pas si évident...) et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective qu'il faut éviter si l'on ne connaît pas (bien trop gros investissement pour ce que ça rapporte...) ! Il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (ce qui est déjà pas mal du tout je pense).Il faut également bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale, etc. Le jury était constitué soit de professeurs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de professeurs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les choses très poussées !

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Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...

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Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".

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Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !

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Espaces de fonctions. Exemples et applications.

On peut parler de beaucoup de choses et d'espaces dans cette leçon. Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les espaces de fonctions et non pas sur les fonctions en elles-mêmes. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions et plutôt donner des propriétés sur les espaces (densité, compacité, etc.).

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Utilisation de la notion de compacité.

Attention cette leçon traîte de l'utilisation de la compacité et non de la compacité en elle-même ! Il faut donc donner le plus d'exemples et d'applications possibles et varier au maximum les domaines d'application.

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Connexité. Exemples d'applications.

Dans cette leçon il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux peut être dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut également parler de simple connexité ou regarder uniquement les différentes notions de connexité mais au niveau local. Il faut bien connaître les différentes implications entre les différents types de connexité et avoir en tête des contre-exemples et donner pas mal d'applications comme le suggère le titre (calcul différentiel, équations différentielles, analyse complexe, etc.).

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Espaces complets. Exemples et applications.

Il faut bien connaître des exemples d'espaces complets mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. Le théorème de Baire et ses conséquences est un bon investissement à faire pendant l'année.

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Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Il faut montrer dans cette leçon l'importance de la dimension finie dans plusieurs contexte en montrant explicitement ses apports.

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Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Le lemme de Baire et ses conséquence n'est pas obligatoire mais c'est un bon investissement à faire pendant l'année. En revanche, parler des espaces de Hilbert semble indispensable sinon la leçon risque d'être trop courte et trop pauvre en résultats.

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Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

Il faut essayer de motivier l'approximation d'une fonction par des fonctions régulières et donner le plus d'exemples possibles (approximation par des polynômes, dans les L^p ou encore de fonctions périodiques).

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Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un espace de Hilbert en montrant que son orthogonal est réduit à {0}, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne et savoir calculer une distance à l'aide de la projection orthogonale.

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Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.

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Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Si on peut faire l'impasse sur la 214, il faut vraiment faire l'effort de traiter cette leçon. Le calcul différentiel, c'est difficile, mais avec du travail franchement on s'en sort. Je conseillerais de faire plein d'exercices où on doit différentier des trucs. Les choses les plus classiques qui sont souvent demandées à l'oral sont la différentielle de la puissance matricielle, de l'inverse matriciel, voire de l'exponentielle matricielle...
On n'est pas obligé de parler des fonctions harmoniques, mais j'avais eu un cours dessus donc j'en ai parlé.
Comme pour la 214, je recommande vivement de faire plein d'exos d'application plus ou moins "futée" des théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.

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Formules de Taylor. Exemples et applications.

Dans cette leçon il faut essayer d'illustrer au maximum chaque formule de Taylor dans divers domaines (analyse, probabilités, analyse numérique, etc.).

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Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

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Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Cette leçon paraît facile mais en réalité elle est assez piègeuse ! En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... De plus, les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles et assez peu abordées en CPGE et à la fac (il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet et faire des exercices pour bien comprendre ces deux notions).

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Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, la difficulté provennant du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas beaucoup exemples... De plus, la notion de développement asymptotique n'est plus au programme de CPGE et assez peu étudié à la fac donc il faut tout découvrir sur le sujet dans un laps de temps assez court...

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Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Il faut essayer d'illustrer un maximum avec des exemples concrets et des études de suites particulières.

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Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)...
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations.

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Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Pour cette leçon il faut faire pas mal d'exercice afin de se souvenir d'astuces qui peuvent être utiles.

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Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

Cette leçon repose sur des notions de première année, donc on peut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue, etc.).

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Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Cette leçon est assez longue donc il faut se resteindre sur la partie concernant la théorie de la mesure, on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme. Il ne faut pas maîtriser entièrement les démonstrations des théorèmes de Fatou, de convergence dominée et monotone (qui sont difficiles)... Cependant il faut bien savoir les utiliser !

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Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, les théorèmes de théorie de la mesure, les théorèmes sur les intégrales à paramètres, etc. Il faut bien accompagner ces théorèmes d'exemples et d'applications. On peut également penser aux interversions de symboles avec la convergence uniforme ou le lemme de Baire.

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Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Il faut mettre des manières classiques de calculer les intégrales (intégration par partie, changement de variable) ainsi que les théorèmes de convergence en pensant à bien les illustrer par des exemples. On peut donner d'autres manières de calculer des intégrales comme par exemple avec les probabilités ou l'analyse complexe.
Donner des calculs approchés d'intégrales paraît indispensable également et il faut faire des exercices afin de retenir des "méthodes classiques".

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Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Il faut que les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale apparaissent et soient accompagnés d'exemples. Il est pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans L^1(R). Les probabilités et l'analyse complexe peuvent faire de bonnes applications.

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Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

C'est une leçon qui porte essentiellement sur la convergence uniforme, donc il faut bien maîtriser ce sujet. Cependant, il ne faut pas trop laisser de côté les autres modes de convergence (notamment dans les L^p) et on peut mettre aussi des probabilités avec toutes les convergences de variables aléatoires. Enfin il faut sourtout penser à donner des exemples et des contre-exemples.

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Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Il faut savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière et il faut également savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas... Enfin, il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières car cette leçon est surtout d'un niveau de deuxième année donc le jury peut être exigeant.

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Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Il faut faire attention lorsque l'on parle des fonctions trigonométriques de bien donner un sens logique en sachant comment démontrer les choses (par exemple si on commence la leçon avec les formules trigonométriques du cosinus et du sinus et que l'on dit ensuite que ces fonctions sont dérivables alors il faut faire la démonstration avec ces formules trigonométriques et il ne faut surtout pas dire que c'est une série entière) : c'est cela qui rend la leçon difficile à faire...


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Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

C'est une leçon très vaste, il faut donc faire des choix... Il faut faire des exercices car ils peuvent vite être difficiles. La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais ça peut être pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans H(Omega) et de dire à quel point il est puissant ! On peut aussi parler de la topologie de cet espace avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable.

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Séries de Fourier. Exemples et applications.

Pour cette leçon il suffit globalement de suivre de El Amrani et de se laisser guider. Il faut bien être au clair sur les modes de convergence et les éventuelles implications entre elles car c'est ça qui fait toute la beauté des séries de Fourier ! Il faut également savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie L^2.

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Transformation de Fourier. Applications.

Dans cette leçon il faut aborder la transformation de Fourier sur différents espaces et voir ce qu'ils apportent : sur L^1, L^2 et S(R). Il faut faire quelques exercices sur la classe de Schwartz si on n'est pas à l'aise et on n'est pas obligé d'aller vers la topologie d'espace de Fréchet. La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique !

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Utilisation de la notion de convexité en analyse.

La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.

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Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Pour cette leçon il faut refaire des exercices de calcul de lois avec une fonction h mesurable positive, avec les fonctions de répartition ou encore les fonctions caractéristiques.

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Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Il faut axer cette leçon sur les différents modes de convergence des variables aléatoires et surtout les liens entre ces différents modes convergences (et également faire un schéma résumé en annexe pour que ça soit plus clair pour le jury). Il faut refaire quelques exercices et savoir quelle méthode utiliser pour montrer tel ou tel mode de convergence.

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Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans cette leçon il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance, etc.), de formule du transfert, etc. Il faut connaître les propriétés propres aux variables aléatoires discrètes et savoir utiliser les différentes formules et les inégalités (et ne pas oublier les fonctions génératrices !).

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Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

Pour cette leçon il faut centrer les résultats sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les applications de l'indépendance : il faut donc en mettre le plus possible et dans des domaines variés si possible. Les vecteurs gaussiens ne sont pas obligatoires mais font une bonne application.

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Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Cette leçon est assez difficile car elle demande d'être à l'aise avec les équations différentielles ordinaires. Pour bien l'aborder on peut faire des exercices sur le théorème de Cauchy-Lipschitz, les équations autonomes, le théorème de sortie de tout compact et d'explosion en temps fini ainsi que travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient.

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Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Cette leçon est plus facile à faire que la 220 et on peut (quasiment) la faire entièrement avec le Berthelin. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants, non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. De plus, les résultats sur le wronskien et la résolvante peuvent être minimes car on n'en demande pas une étude très poussée.

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