Développement : Théorème de Wiener-Ikehara

Détails/Enoncé :

C'est un joli développement qui mélange plusieurs aspects de l'analyse (un peu calculatoire) : Séries de fonctions, transformation de Fourier (de manière assez surprenante !), interversion de symboles (convergence dominée, monotone) et des estimations non triviales.
Attention, je pense qu'il faut être vraiment à l'aise de base avec les séries de Dirichlet pour les éventuelles questions de jury et surtout ce développement peut mener à une pente assez glissante car on peut prouver le théorème des nombres premiers ensuite (typiquement si le jury demande un exemple d'application de ce résultat).

Soit $\displaystyle{F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{ n^{s}}}$ une série de Dirichlet avec $b_n \geqslant 0$ pour tout $n \geqslant 1$. On suppose que :

- La série de Dirichlet $F(s)$ converge pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mathcal{R}\textit{e}(s) > 1$,
- $F$ peut être prolongée en une fonction méromorphe sur le demi-plan $\{ s \in \mathbb{C} \vert \Re(s) \geqslant 1\}$ et de plus $F$ ne possède pas de pôle excepté en $s=1$ où son résidu vaut $R > 0$.


Alors on a l'estimation suivante quand $x \to +\infty$ :
\[B(x):=\sum_{n \leqslant x} b_{n}=R x+o(x). \]

Versions :

Pas de version pour ce développement.