Inégalités de Kolmogorov

Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités (Rombaldi) page 330

Trois théorèmes de point fixe

Formule de Stirling (par les intégrales de Wallis)

Développement assez calculatoire, mais les arguments théoriques utilisés sont élémentaires (c'est niveau licence). Étant extrêmement nul en calculs, j'ai dû le répéter un grand nombre de fois avant de le maîtriser. Malheureusement, il est difficile de couvrir toutes les leçons sans aucun développement calculatoire.

Théorème d'Ascoli

Je le montre pour une sous partie A de C(K,F) où K est compact et F est complet.
A est alors relativement compacte ssi A est équicontinue et les A(x)=\overline{ {f(x) | f \in A} } sont relativement compacts.

Le Rombaldi a ce cas métrique mais j'ai fait un peu différemment par moment, en particulier, je montre Heine équicontinu à partir de Heine continu appliqué à une fonction d'évaluation globale de K dans C(A,F).

Pour la 208, on fait avec des normes infinies, Banach au lieu de complet, etc ... Mais ça ne change rien.

Théorème de Müntz

Vous ne voulez pas montrer Weierstrass à l'agreg ? Faites-mieux : montrez le théorème de Müntz, à prix discount : $\mathrm{Vect}(x^{\alpha_n})$ est dense dans $\mathcal{C}^0([0, 1])$ si et seulement si $\sum\frac{1}{\alpha_n}$ diverge. Publicité mensongère : on utilise le théorème de Weierstrass. Le principal intérêt de ce développement gourdonesque est qu'il utilise deux déterminants classiques, à savoir Cauchy et Gram, vous m'avez bien entendu, ce qui permet de garnir la leçon déterminant, et ça, on ne dit pas non.

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Le dev est au recto, lemmes et appli au verso
Réf : Rombaldi p.45 et Gourdon p.50, 56, 57
Recasage : 148, 201, 203, 206, 208

Remarque : Développement classique à connaître. Sachez démontrer le lemme de distance à un sev (de dim finie) atteinte. Je vous conseille de connaître les applications classiques des résultats.

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Cette leçon est difficile à faire car il y a beaucoup de choses à dire et on peut partir dans beaucoup de directions mais il n'y a pas une référence privilégiée qui s'attarde sur le sujet et donne des applications poussées dans divers domaines variés... Les livres de classe prépa peuvent aider pour bien poser les bases et rappeler toutes les définitions et propriétés de base.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

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Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Cette leçon paraît facile mais en réalité elle est assez piègeuse ! En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... De plus, les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles et assez peu abordées en CPGE et à la fac (il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet et faire des exercices pour bien comprendre ces deux notions).

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Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)...
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations.

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Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Il faut faire attention lorsque l'on parle des fonctions trigonométriques de bien donner un sens logique en sachant comment démontrer les choses (par exemple si on commence la leçon avec les formules trigonométriques du cosinus et du sinus et que l'on dit ensuite que ces fonctions sont dérivables alors il faut faire la démonstration avec ces formules trigonométriques et il ne faut surtout pas dire que c'est une série entière) : c'est cela qui rend la leçon difficile à faire...


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Utilisation de la notion de convexité en analyse.

La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.

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Formules de Taylor. Exemples et applications.

Voici le plan que j'ai présenté en leçon. Il a été validé par l'encadrant, il y a juste 2-3 petites erreurs. C'est une leçon chiante, clairement mais entre ça et la 224, le choix est vite fait. Le TCL, même si on n'utilise pas bcp Taylor se recase bien. J'avais mis aussi démo de Taylor Young facile (ref Gourdon) et application à un équivalent de suite récurrente. J'ai abandonné le dev sur Kolmogorov en cours de route, car trop lourd à apprendre et non recasable.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Dans les leçons de probas, c'est celle que j'ai eu le plus de mal à faire. Il faut bien se souvenir qu'une var. aléatoire discrète est à valeur dans un espace discret !! Oui c'est dans le nom mais c'est important !

Pour mon premier développement j'ai aussi enlevé Galton Watson parce que le jury en avait marre. Finalement j'ai mis la marche aléatoire sur Z.

J'ai beaucoup de références, je pense qu'on peut faire moins. Pas mon meilleur plan mais si ça peut donner des idées.


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications

J'aime bien mon plan, il est simple et efficace. Je l'ai fait au début de l'année donc il faut reprendre des choses. D'abord, aux endroits où il y a marqué [ROH], j'utilise finalement le EL Amrani.

Le dev 1 se justifie par le fait qu'on montre la convergence de deux suites réelles.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Leçon présentée en prépa agreg mais avec peu de retours... Voici un méta plan différent de ce que j'ai proposé, qui me semblait après coup un peu mieux. En PJ la version détaillée de ce que j'ai présenté en classe.

I/ Suites et séries de fonctions
1. Définition, modes de convergence
2. Régularité
(DEV : Riesz-Ficher [IP])
3. Cas des séries entières

II/ Applications aux probabilités
1. Suites de v.a. et convergence
2. Fonctions caractéristiques, fonctions génératrices
3. Théorèmes de convergence (DEV : lemme, Lévy, TCL)

Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Plan que j'ai fait au début de l'année donc je changerais quelques trucs mais bon l'essentiel y est ! Au final je n'utilise pas le Deschamps comme le laisse penser le plan mais j'utilise le El Amrani. À la fin de l'année j'ai changé mon deuxième développement qui était beaucoup trop long. À la place je mettais les nombres de Bell. Et en ajout je pense que je rajouterai au moins quelques exemples de calculs de somme de séries par exemple en faisant intervenir les séries de Fourier.


Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

À la place du dev. sur le lemme de Morse je mettais le dev des fonctions strictement monotones.
Je pense qu'il ne faut pas faire l'impasse sur cette leçon. Il y a de quoi remplir la leçon tout en restant dans des notions de bases. Probablement à faire avant les écrits on ne sait jamais.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Mon plan est très très court et je pense que ça aurait poser problème si jamais j'étais tombé dessus le jour j. Comme bcp je n'aime pas trop cette leçon surtout que trouver des exemples simples qui ne sont pas des exos complets est un peu compliqué. À la place du lemme de Morse en dev. je mettais fonctions strictement monotones.
Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Mon plan est très (trop dense). SI j'étais tombé dessus le jour J j'aurais probablement élagué des trucs. Déjà j'aurais enlever Hahn-Banach qui de toutes les façons n'est pas à la bonne place.

Je suis passé dessus en leçon pendant l'année le plan a été validé. Niveau dev., c'est deux dev. de bon niveau qui me demandais pas mal de boulot. Si vous passez sur Banach-Steinhaus, il faut absolument avoir en tête des applications plus simple du théorème de Baire.

Pour les refs., c'est une leçon que j'ai fait au début de l'année et je n'avais pas encore pris l'habitude de mettre les refs. sur mes plans mais voici les grandes lignes.

Je faisais la première partie par coeur parce que je n'ai jamais trouvé un bouquin élémentaire qui fasse ça.
Ensuite pour la théorie élémentaire des opérateurs j'utilisais le SCH. Ensuite le Rombaldi pour la dimension finie et le Daniel Li pour les espaces de Banach.

Mes plans sont généralement inspirés de Mr_Syndrome, ma_tilde, Mathis Lemay et Ewna. Merci à eux.