(2022 : 203 - Utilisation de la notion de compacité.)
Cette leçon ne porte pas sur la compacité en général mais sur son utilisation. On peut songer à plusieurs thèmes : théorèmes d'existence exploitant la compacité, utilisation de la compacité pour obtenir des uniformités.
Sur le premier sujet, on pourra s'intéresser à l'utilisation, dans les espaces compacts ou les espaces normés de dimension nie, des valeurs d'adhérence pour prouver des convergences ou des continuités, et bien sûr aux problèmes d'extrema. Un exemple est le théorème d'équivalence des normes sur un espace de dimension nie, qui repose sur un argument de compacité qu'il faut avoir bien compris. Sur le second, on pourra explorer quelques unes des innombrables applications du théorème de Heine (intégrabilité au sens de Riemann des fonctions continues sur un segment, continuité des translations dans $L^p$, etc), mais aussi l'utilisation de sous-recouvrements finis (par exemple pour passer du local au global).
Les candidats solides pourront s'intéresser à la caractérisation des espaces normés de dimension finie par la compacité de la boule unité fermée (éventuellement assortie d'applications), aux équations différentielles non linéaires (phénomène de sortie de tout compact), à l'équicontinuité (théorème d'Ascoli), aux familles normales (théorème de Montel), aux opérateurs compacts.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
1. Pourquoi il existe a ∈ A tel que d(xn2,A) < α/3?
2. Est-ce que par hasard cet inf ne serait pas un min ?
3. Dans votre application (à savoir, si f : [0,1] → [0,1] continue, x0 ∈ [0,1] et xn+1 = f(xn) telle que xn+1 − xn → 0, alors (xn) converge), est-ce qu’on ne peut pas se passer du fait que [0, 1] est compact,et donc ne pas utiliser le théorème ?
4. Vous parler de convergence uniforme pour la convolution d’une fonction continue à support compact avec une approximation de l’unité, pourriez-vous en rappeler la définition.
5. Pouvez-vous donner un exemple d’une telle approximation?
6 .Justifier pourquoi ça en est bien une.
7. Avec votre def d’approximation de l’unité, les deux premiers ne vous feraient pas penser à qqch en terme de proba ?
8. Et alors avec le troisième point, comment pourrait-on l’interpréter ? (convergence en proba vers 0)
9. Vous avez dit qu’en dim finie, compact=fermé borné, pourriez-vous montrer que c’est faux en dim infinie.
10. Pourriez vous montrer que si xn → a, alors {xn, n ∈ N} ∪ {a} est compact ?
11. Si f : [0, 1] → C continue telle que \int_0^1 t^nf(t)dt = 0 ∀n, montrer que f = 0.
jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique, souriant.
Pas de réponse fournie.
14.75
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je croyais que le dev allait etre trop long du coup j'ai admis un lemme (qui exhibe une suite de polynome qui CVU vers la valeur absolue sur [-1,1]. Finalement j'ai fini en moins de 10 min donc je leur ai proposé de quand meme démontrer le lemme et ils avaient l'air ok.
Ensuite j'ai eu quelques questions de précision sur le dév, et d'application de Stone Weierstrass (montrer que X compact => C(X) est séparable et une autre question dont je ne me souviens plus)
Sur le plan, pas trop de question pénible, j'avais mis le thm de prolongement de Tietze (en application a SW) et on m'a demandé de démontrer du coup le lemme d'urysohn dans le cadre métrique (qui dit que si on a 2 compacts disjoints alors on trouve une fonction continue qui vaut 1 sur l'un et 0 sur l'autre).
Ensuite j'ai du montrer que A = {(un) tq |un| < 1/2^n} était compact dans l^1(N)
Ensuite j'ai du montrer que si K est un compact convexe d'un evn, et f tq ||f(x)-f(y)|| <= ||x-y|| alors f admettait un point fixe.
Sympathique
pas de surprise j'avais préparé cette lecon pendant l'année
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Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
C'était mon deuxième oral, j'étais beaucoup moins stressée qu'au premier. On m'a demandé de préciser quelque chose sur mon développement puis on m'a demandé de montrer qu'une suite à valeurs dans un compact qui a au plus une valeur d'adhérence converge (je l'utilisais dans mon développement et je l'avais juste très vite justifié à l'oral).
Question suivante : Comment définissez-vous la topologie quotient ? (j'en parlais dans mon plan à cause de ce développement où la topologie induite par la distance que je mets est en fait la topologie quotient) Je l'ai défini avec sa propriété universelle, ce qui a surpris le jury (apparemment c'est plus courant en algèbre qu'en analyse), du coup j'ai expliqué qu'il y avait deux manières de faire, soit on la définissait avec sa propriété universelle puis on la construisait pour montrer qu'on ne parlait pas sur du vide, soit on prenait sa construction pour définition et on montrait qu'elle vérifiait la propriété universelle et que c'était la seule (sur l'ensemble quotient).
Ensuite un membre du jury m'a demandé comment je définissais les compacts en topologie générale, j'ai répondu avec Borel Lebesgue (et le fait d'être séparé) et il m'a demandé si je connaissais un compact qui ne vérifie pas Bolzano Weierstrass.
J'ai répondu qu'en tout cas ça ne serait pas un compact métrique et j'ai cherché un peu, mais il m'a rapidement interrompu pour me dire que si je n'en connaissais pas je n'allais pas deviner. Un autre membre du jury m'a alors demandé de parler de la topologie de la convergence simple; il m'a guidé et j'ai compris qu'il avait l'air de vouloir que j'utilise un théorème de Tychonoff, mais celui qui me venait à l'esprit était dénombrable et là on n'était pas dans un cadre dénombrable; je leur ai fait part de ces réflexions et on est passé à des questions sur le plan (retour dans un cadre métrique du coup).
Je ne me souviens plus des questions exactes sur mon plan (qui avait deux parties, une sur l'utilisation de la compacité en lien avec la continuité (l'image continue d'un compact est compact, Rolle, Heine, Weierstrass... et beaucoup d'applications) et une sur Ascoli, Montel et le théorème de représentation conforme de Riemann (ce dernier étant admis)) mais elles étaient du style "Comment vous déduisez cette application de ce théorème ?" et aussi pourquoi je mettais le théorème de représentation conforme de Riemann (c'est parce qu'on utilise le théorème de Montel dans sa preuve, et qu'à mon avis ça se voit plus facilement que c'est un théorème utile (si on finit avec le théorème de Montel on reste sur sa faim à mon avis, en mode "à quoi ça sert ?")).
Ensuite un membre du jury m'a demandé si j'avais d'autres (que Montel) applications du théorème d'Ascoli, j'ai répondu le théorème de Cauchy Peano, et un membre du jury m'a demandé comment on le prouvait, j'ai donné une idée "avec les mains" (j'ai parlé des solutions epsilon approchées mais je ne me souvenais plus des définitions exactes, juste des grandes idées), puis un membre du jury m'a demandé "Et avec un ordinateur on fait comment ?" du coup j'ai expliqué le coup des tangentes et de faire quelque chose d'affine par morceaux, et on est passé aux exos. Chaque membre du jury m'a posé un exo.
Exo 1 : Soient (E,||.||) un evn, X un compact de E, f : X -> X telle que pour tous x et y distincts || f(x) - f(y) || < || x - y ||. Montrez que f a un unique point fixe.
Exo 2 : Soient (E,||.||) un evn, K un compact de E. Notons L la réunion sur (x,y) dans K^2 des segments [x,y]. Montrez que L est compact.
Exo 3 : Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans C, dérivables sur ]0,1[, telle que la suite des dérivées (f'_n) est bornée dans L^2. Montrez que (f_n) converge uniformément.
Pour l'exo 3, [SPOILER RÉPONSE] j'ai réussi à borner (f_n) avec une méthode ad hoc (je me suis aperçue après coup que le jury s'attendait à du Cauchy Schwarz mais là j'ai utilisé |f'_n| <= 1 + |f'_n|^2), puis j'ai compris que le jury voulait que j'utilise Ascoli donc j'ai essayé de montrer l'équicontinuité, mais la même méthode était trop bourrin cette fois-ci, me voyant bloquée un membre du jury a dit "les f'_n sont dans L^2" et j'ai eu le déclic - Cauchy Schwarz !-, puis avec le théorème d'Ascoli j'ai résolu l'exo, ce qui a conclu mon oral.
Les trois membres du jury étaient très souriants et encourageants, du début à la fin de l'oral. J'ai pu cherché les exercices tranquillement, et le jury était toujours intéressé par ce que je faisais, même si c'était inattendu (par exemple pour le deuxième exo je pensais qu'il était plus compliqué qu'il ne l'était vraiment, du coup j'ai fait un cas particulier (K un ensemble fini de R^2, je faisais des dessins pour voir à quoi ressemblait L), ça a interloqué le membre du jury qui m'avait posé l'exo mais il m'a demandé d'expliquer ce que je faisais et il ne m'a pas interrompu, et j'ai eu le déclic [SPOILER RÉPONSE] de faire des extractions successives). Il n'y avait pas de temps mort et en même temps le jury ne me pressait pas, entre ça et leurs sourires (sur les visages et dans les voix) c'était vraiment le jury idéal.
Le temps passe très vite, je n'ai eu le temps que de mettre une vingtaine d'items alors que quand je faisais les plans chez moi j'en mettais au moins une cinquantaine. J'ai aussi été surprise qu'il y ait des questions de topologie générale alors que le rapport du jury insistait sur le cadre métrique, mais le jury n'avait pas l'air trop déçu que je n'arrive pas à répondre à ses questions de topologie générale, donc ça allait.
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Théorèmes de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Nota : dans mon développement, je n’ai présenté que les grandes lignes de la preuve de Glivenko-Cantelli, mais j’ai démontré avant le théorème de Heine.
Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples dans un premier temps, et en particulier sur mon développement (qui était présenté de manière trop brouillon). Le jury a aussi voulu vérifier que j’avais moyen de finir la preuve de Glivenko-Cantelli, et m’a donc demandé de compléter ces grandes lignes, m’interrompant quand il était certain que je connaissais la preuve complète.
Le jury a beaucoup insisté sur le théorème du maximum et sur ses conséquences. Il m’a demandé quelques précisions sur les énoncés assez théoriques que j’avais pu mettre (par exemple, j’ai beaucoup insisté sur les liens avec la complétude), mais ce n’était pas le cœur du sujet.
Beaucoup de questions étaient très simples, voire triviales, du type : une fois prouvé Bolzano-Weierstraß, comment prouver la complétude de R ? Comment démontrer le théorème des compacts emboîtés ? Etc.
J’ai placé dans mon plan énormément d’énoncés éloignés du sujet qui venaient illustrer une application de la compacité que j’avais appris comme développements pour des leçons qui n’avaient rien à voir. Par exemple, j’ai cité le théorème du point fixe de Brouwer, pour lequel on montre à un moment qu’une partie est la sphère toute entière parce qu’elle est ouverte, et fermée en tant qu’image continue d’un compact. Le jury m’a clairement tendu une perche pour donner les grandes lignes de la démonstration en insistant sur l’endroit où intervenait la compacité.
Le seul exercice un peu élaboré (manifestement classique, mais que je ne connaissais pas) était : que peut-on dire d’une isométrie d’un espace métrique compact ? Après quelques hésitations à proposer des choses assez peu intéressantes, j’ai entendu un juré souffler à un autre « surjectivité », et j’ai proposé ça en l’enrobant comme si ça venait de moi. Il m’a fallu dix bonnes minutes et plusieurs pistes du jury pour y arriver, mais j’étais toujours dans une posture très « active ».
Le membre du jury du milieu avait une posture assez sévère, mais n’était pas cassante pour autant. Son voisin de gauche était beaucoup plus « doux », mais parlait peu et tiquait parfois ostensiblement. Le troisième juré était transparent.
C’était mon premier oral d’agrég (candidat libre, je n’avais jamais fait d’oral blanc), et sous le stress, j’étais assez brouillon dans mon développement, cherchant à aller trop vite au prix de la clarté. J’ai donc écrit trop gros, et le jury s’est assez énervé lorsque j’ai demandé à effacer le tableau pour la deuxième fois, et a refusé, me forçant à écrire en très petit dans un coin libéré.
Du fait qu’ils insistaient pour que je puisse « revenir sur le début du développement », je pensais que j’avais commis de lourdes erreurs, mais en réalité les premières questions posées étaient des trivialités et des précisions de notations (« pourquoi déduisez-vous de d(x,y) = 0 que x = y » et autres…).
Je n’ai pas eu le temps de bien finir mon brouillon de plan (je m’étais donné cinquante minutes pour rédiger), et j’ai donc commis deux fautes importantes dans l’ordre des énoncés sur la fin. Cependant, je m’en suis rendu compte après que mon plan soit parti à la photocopie, et j’ai pu dès la défense du plan signaler au jury l’erreur sur l’ordre. Je pensais que le jury insisterait sur cette partie (qui est en plus signalée dans le rapport comme posant des difficultés aux candidats quant à l’existence de raisonnements circulaires), mais il n’a en fait rien demandé dessus.
Comme indiqué supra, c’était mon premier oral d’agrég. Bien que connaissant très bien la plupart de mes développements, j’ai perdu mes moyens lors de la préparation et j’ai facilement perdu une demi-heure à compléter un passage absurdément simple.
Ma seule vraie surprise portait sur le fait que le jury était extrêmement pointilleux sur la présentation, la mise en forme du raisonnement, et que certaines étapes paraissant triviales pouvaient faire l’objet de plusieurs « vous pouvez détailler ? » à la suite.
18.25
263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Bienveillant
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...
Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...
Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
une indication et pof...
Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.
Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.
Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).
Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...
Pas de réponse fournie.