Développement : Propriétés des opérateurs compacts

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un Banach, $T : E \to E$ un opérateur compact. Alors, $\ker (I-T)$ est de dimension finie et $\mathrm{Im}(I-T)$ est fermée. De plus,
- En dimension infinie, $0$ est valeur spectrale de $T$.
- Les valeurs spectrales non nulles de $T$ sont en fait des valeurs propres, et forment soit un ensemble fini, soit une suite convergeant vers $0$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    On ne va pas se cacher que ce développement est vraiment difficile (et long) : j'aurais tendance à le déconseiller si vous n'avez jamais vu d'opérateurs compacts ou si vous n'êtes pas à l'aise avec. En effet, il y a quelques résultats non triviaux admis, et il faut savoir en donner des idées de démonstration. De plus, il faut savoir répondre à des questions sur les opérateurs compacts.

    J'ai choisi de faire un développement sur ce sujet car c'est un peu mon domaine de prédilection, mais je rappelle qu'il n'est pas du tout nécessaire d'être original à l'agreg pour obtenir de très bons résultats.

    Selon moi : leçons 203, 206, 208 (2023).

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 35 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 54 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 105 versions au total)