Développement : Théorème d'Ascoli

Détails/Enoncé :

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Auteur :
    LM
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    201 203 205 228

    Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \right)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
    -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée.
    -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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  • Remarque :
    ATTENTION: je me permet de dire que la version de AA comporte une erreur. La suite n_k construite dans sa version dépends de epsilon ... On trouve certes après ||f_nk - f_nk'|| < epsilon pour k et k' grands, mais seulement pour ce epsilon ... C'est le contraire qu'il faut ! Trouver une extractrice (n_k) telle que, pour tout epsilon, pour k et k' assez grand, ||f_nk - f_nk'|| < epsilon.
    En particulier, le procédé d'extraction diagonale est obligatoire.
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    Je préfère la version du Daniel Li (contrairement à celle du Bernis ou je comprends moins bien) qui est bien détaillé surtout la construction de la bonne sous suite par extraction diagonale.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)