Critère de Weyl

Recasages : 223, 209, 246.

Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).

Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en début d'année. Possibilité d'une annexe graphique contenant des graphes de caractères (cf. von zur Gathen, Gerhard, Modern Computer Algebra), et les isométries du cube.

Si j'étais passé sur cette leçon à l'oral, j'aurais parlé à la fin des isométries du cube, qui auraient constitué mon second développement (au lieu de $A_n$ simple pour $n \geq 5$).

Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

Leçon sur laquelle je suis passé en oral blanc de fin d'année.
La quatrième page correspond à mon brouillon de leçon, que je faisais durant l'année (par manque de temps de tout détailler). Cela vous permettra de comparer… et de comprendre pourquoi je n'ai pas mis tous mes plans sur ce site.

Nombres premiers. Applications.

Plan sur lequel je suis passé en oral blanc de milieu d'année. Résolument orienté vers le calcul formel.

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna).

Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin : Autour du ppcm et du pgcd

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !

Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !

Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !

(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)

Utilisation de la notion de compacité.

Plan réalisé durant un oral blanc de fin d'année (j'avais préparé la leçon durant l'année, quand même). On peut aller bien plus loin, mais l'exemple 37 est déjà une porte ouverte à bien trop de questions d'analyse spectrale… (cf. plan de EWna)

L'application 30 est un exemple en lien avec un de mes devs pour une autre leçon, il est assez drôle de recaser ainsi du savoir, pour de potentielles questions à l'oral, surtout pour une leçon d'exemples comme celle-ci.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Plan de leçon éprouvé par une présentation durant l'année. Le plan est très dense ; on peut tout à fait ne pas faire la troisième partie si on n'est pas à l'aise avec les sous-variétés. On se rangera à l'avis du jury, qui considère qu'il est inutile de présenter les résultats en dimension infinie si les seuls exemples que l'on en sort ne relèvent que de la dimension finie (cf. Rouvière, Chp 5).

Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

Plan de leçon réalisé en tout début d'année. Mes deux développements sont le calcul de la différentielle de l'exponentielle matrice, et la preuve du théorème d'inversion locale en dimension finie.

La référence au critère de Sylvester est plus pour le folklore et pour parler d'outils d'algèbre qui servent en analyse.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Ébauche de plan, que je publie car je trouvais la structure globale intéressante. Comme vous l'aurez constaté, je n'aime pas l'analyse numérique.
Mes deux développements sont le théorème de projection sur un convexe fermé, et l'inégalité isopérimétrique.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Plan réalisé pour un oral blanc de milieu d'année. J'aime beaucoup sa structure, avec de nombreux exemples (le Hauchecorne vous sauvera), et surtout la dernière partie « Les séries entières au service du dénombrement » (même si ce sont plutôt des séries formelles) qui illustre ce que le jury attend dans la construction d'un plan, à mon humble avis.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Plan réalisé durant l'année, non terminé. Cela dit, j'aime beaucoup sa structure, notamment les applications. Ma référence principale est le très bon livre de Stein et Shakarchi (recommandé par le jury en 2004!), mais attention car il utilise la théorie de l'intégrale de Riemann.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.

Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !