Développement : Un théorème de point fixe compact

Détails/Enoncé :

Théorème : Soient $(E,\|\cdot\|)$ un evn (réel ou complexe), $K$ un compact de $E$ et une application continue $f:K\to K$. On suppose que pout tout $x$ et tout $y$ deux éléments distincts de $K$ on a :
$$\begin{equation}\|f(x)-f(y)\|<\|x-y\|\end{equation}$$
Alors $f$ admet un unique point fixe $\alpha\in K$. De plus, pour tout $x\in K$, la suite numérique $(f^n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ des images itérées de $x$ par $f$, converge vers $\alpha$.

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• 203 : Utilisation de la notion de compacité.
• 223 : Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
• 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

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