Développement : Inégalité de Heisenberg

Détails/Enoncé :

Pour toute fonction $f\in L^2$ sur $\mathbb{R}$, on a l'inégalité suivante :
$\int_{\mathbb{R}}\lvert xf(x)\rvert^2dx\int_{\mathbb{R}}\lvert \zeta\hat{f}(\zeta)\rvert^2d\zeta\geq\frac{1}{4}\|f\|^4_{L^2}$

La preuve se fait pour des fonctions de l'espace de Schwarz, puis par densité, en approximant par convolution, et en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier et des approximations de l'unité sur certaines suites de fonctions.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Dev de bon niveau, soyez a l'aise avec la transformée de Fourier, convolution, et approximation de l'unité, ainsi que les espaces associés. Le dev couvre une énorme partie des techniques utilisé en analyse de Fourier, et il est assez original pour le coup. Pas de ref, déso, il y a une version dans le El Amrani, mais faite de manière un peu compliqué et différente.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)