Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

référence : Gilles Lacombes Pascal Massat Analyse fonctionnelle

Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Recasages: 213 pleinement, 205 dans une moindre mesure mais tout à fait acceptable, 208 moins acceptable

Lacombe Massat (Analyse fonctionnelle) p114+122

Au programme:
- $T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow T^* \in \mathcal{HS}(\mathcal{H})$ et la valeur de $\sum\limits_{n =0}^{+\infty} \|T e_n\|^2$ ne dépend pas du choix de la base hilbertienne $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$,
- $(\mathcal{HS}(\mathcal{H}), \langle \cdot | \cdot \rangle_2)$ est un espace de Hilbert,
- L'ensemble des opérateurs de rang fini est dense dans $\mathcal{HS}(\mathcal{H})$.
- $\displaystyle{T \in \mathcal{HS}(\mathcal{H}) \Longleftrightarrow \exists K \in L^2(\Omega \times \Omega, \mu \otimes \mu): T = \left [ T_K : f \mapsto \int_\Omega K(x, \cdot) f ~\mathrm{d}\mu \right ]}$

Commentaires à la fin du document, voir mon retour d'oral.


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Théorème de Lax-Milgram et une application

Attention si vous faites l'application du Bernis-Bernis, le Brézis dit qu'en fait en dimension 1 on peut toujours se ramener à l'équation classique de Sturm-Liouville :
\[
-(pu')' + qu = f \text{ sur }(0,1),
\]
qui se résout facilement grâce au Théorème de Riesz ! C'est pourquoi je propose une application en dimension $2$. Mes hypothèses ne sont pas forcément optimales mais ça suffit pour le développement je pense.

Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Un développement qui utilise toute l'artillerie des espaces de Hilbert, qui utilise un nombre incalculable de fois l'égalité de Bessel et qui fera des merveilles dans les leçons 205, 208 et 213 ! Il y a de la matière dans ce développement, alors démontrez ce que vous maîtrisez le mieux ! Comme dit au début de ce développement, n'oubliez pas de donner des exemples d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et d'opérateurs qui sont continus, mais pas de Hilbert-Schmidt, voire des exemples d'opérateurs compacts qui ne sont pas de Hilbert-Schmidt ! Un exemple est le suivant : si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in c_0(\mathbb{N}) \setminus \ell^2(\mathbb{N})$, alors l'opérateur :
\[
T : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \longmapsto (a_nu_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N})
\]
est compact, mais pas de Hilbert-Schmidt !

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Je suis passé sur cette leçon lors de mon oral.
J'ai fait un plan globalement identique, j'ai coupé la partie sur les variables aléatoires et raccourci les paragraphes sur les bases hilbertiennes et Fourier périodique au strict minimum (c'est passé tout juste sur les 3 feuilles...)