Développement : Échantillonage de Shannon

Détails/Enoncé :

On pose $BL^2 = \{ u \in L^2(\mathbb{R}) : \widehat{u}_{| \mathbb{R}\setminus I} = 0 \}$ où $I = [ -1/2 , 1/2]$.

Alors
- $BL^2$ est un espace de Hilbert
- L'application $BL^2 \to l^2(\mathbb{Z})$ définie par $u \longmapsto (u(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ est une isométrie.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'ai rajouté une remarque sur le sous-échantillonage.
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    Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement.

    Côté recasages à mon avis:
    Espaces de fonctions
    Espaces de Hilbert
    Transformation de Fourier
    Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables
    Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre...

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 19 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)