Développement : Étude d'une suite de variables aléatoires suivants des lois de Poisson

Détails/Enoncé :

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson $\lambda_n$. Alors :

1) Soit $Y_n=\prod_{i=1}^n X_i$, $p=\prod_{i=1}^\infty (1-e^{-\lambda_n})$. Alors $(Y_n)_n$ converge vers 0 avec une proba de 1-p. Converge vers $+\infty$ avec une proba de p. Exemples pour $\lambda_n=o(\ln(n))$ et $\lambda_n=2\ln(1+n)$

2) Si $\sum_k \lambda_n^k$ converge, alors $\overline{\lim}X_n = k-1$ ps. Application aux études des valeurs d'adhérences de $X_n$ si $\lambda_n=\frac{1}{n^\alpha}$, $\alpha >0$

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement original que j'ai fabriqué en regroupant deux exercices du Kurtzman. Je justifie les recasages par :
    Suites numériques : On utilise les lim sup des suites pour déterminer un ensemble de valeurs d'adhérences.
    Séries numériques : On utilise à plusieurs reprises Borel Cantelli
    Et en proba :
    Loi : On travaille autour de la loi de Poisson
    Convergence : Tout le dév porte sur la convergence de suites de variables aléatoires. On illustre l'importance de Borel Cantelli pour déterminer des convergences presques sûres.
    Variables aléatoires discrètes : On n'étudie que des variables aléatoires discrètes
    Indépendance : On utilise à plusieurs reprises le second lemme de Borel Cantelli, qui nécessite l'indépendance.

    Je recommande ce développement rigolo :)
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 118 versions au total)