Développement : Problème de la fortune du joueur

JBernis

Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ une suite de variables aléatoires discrètes, indépendantes et identiquement distribuées, dont la loi est définie par :
$$ \mathbb{P}(X_1=1)=p, \mathbb{P}(X_1=-1)=1-p=q.$$
La variable aléatoire $X_n$ représente, le gain du joueur à l'issue du $n^{\mathrm{e}}$ lancer, dans la mesure où la partie se déroule en au moins $n$ lancers.

Pour un entier $k\in [\![0,a+A]\!]$, on définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ :
$$ S_0=k, \;\;\; \forall n\in\mathbb{N}^*, S_n=k + \sum_{j=1}^{n}{X_j}.$$
Si $S_0=a$ alors, avec la même réserve sur $n$, $S_n$ représentele capital du joueur après $n$ lancers de pièce.

Enfin, on définit la variable aléatoire $T$, représentant la durée de la partie, par la relation :
$$T= \mathop{\mathrm{inf}} \left\{n\in\mathbb{N} \;|\; S_n \in \{ 0, a+A \} \right\},$$
en convenant que $\mathop{\mathrm{inf}}(\emptyset )=+\infty$.

Énoncé : En prenant $S_0=a$,
-- Le nombre de tours moyen pour que la partie s'achève est donné par les formules :
si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= \frac{(a+A)\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}}-a}{p-q},$$
si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= a\,A.$$
-- Presque sûrement, le jeu se finit en un nombre fini de lancers : $$\mathbb{P}(T < + \infty)=1.$$
-- La probabilité que le joueur gagne est donnée par les formules :
si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\right)^{a+A}},$$
si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A) = \frac{a}{a+A}.$$


Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses