Développement : Processus de Galton-Watson (ou processus de branchement)

Détails/Enoncé :

Soit $(X^n_i)_{ i \ge 1, n \ge 1}$ une famille de variables aléatoires iid à valeurs dans $\mathbb{N}$. On définit $Z_0=1$ et $Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} X^{n+1}_i$ pour tout $n \ge 0$. On pose $m = E[X^1_1]$.

On suppose que $P(Z_1 = 1) \not=1$, alors

$$ \begin{cases}
P(Z_n =0) \to 1 \text{ lorsque } n \to +\infty \text{ si } m \le 1 \\
\exists c > 0 : P(Z_n > 0) \ge c, \forall n \ge 0 \text{ sinon }
\end{cases}$$

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

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  • Remarque :
    Développement sans références claires :( à apprendre par coeur dans le pire des cas.
    Dans l'énoncé, remplacer "P_ext est l'unique point fixe de G sur ]0;1[" par "P_ext est le plus petit point fixe de G sur ]0;1[".

    Développement n°1 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
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  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    J'ai beaucoup travaillé ce développement, avec beaucoup de références croisés. Il se peut donc qu'il reste des coquilles de notation. Je ne présentais pas tout à chaque leçon mais triais selon l'utilisation de celle-ci dans le développement. La fin de mon développement est une présentation de l'idée de ce qu'il se passe à l'aide d'un schéma (qui met en avant la convexité) mais absolument pas une preuve rigoureuse. Il faut en avoir conscience et savoir traiter chaque cas proprement.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Références :
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre (utilisée dans 14 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 16 versions au total)