Développement : Suite récurrente : convergence lente

Détails/Enoncé :

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ définie au voisinage de $0$ qui a développement limité de la forme

$$ f(x) = x - ax^\alpha + o(x^\alpha) $$

avec $a > 0$ et $\alpha > 1$. Alors la suite récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ admet l'équivalent

$$ u_n \sim \frac{1}{ (na(\alpha-1)^{\frac{1}{1-\alpha} } } $$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Je fais l'application avec arctan (il n'y a pas de références) mais c'est la même technique. Il faut bien s'entraîner aux calculs qu'ils soient automatique sinon ca risque d'être long et laborieux à mon avis.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 144 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 152 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 57 versions au total)