Développement : Intégrale elliptique et longueur du lemniscate

Détails/Enoncé :

On note $M$ la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres ; alors, pour $u $$I(u,v):= \int_0^{\frac \pi 2} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{u^2\cos^2(\varphi) + v^2 \sin^2(\varphi)}} = \frac{\pi}{2M(u,v)}$$

On en déduit la longueur du lemniscate de Bernoulli, image par l'inversion de centre $0$ de rapport $1$ de l'hyperbole $\{x^2-y^2=1\}$ (d'équation en coordonnées polaires $r=\sqrt{\cos(2\theta)}$), qui vaut :
$$\ell = \frac{2 \pi}{M(1, \sqrt 2)} $$

Pour poursuivre, on peut déterminer la vitesse de convergence des moyennes vers $M(a,b)$, et en déduire une estimation de l'erreur dans le calcul de la longueur du lemniscate.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement n°2.2 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
    Ne pas hésiter à faire un petit dessin de l'hyperbole, du cercle unité et du lemniscate, c'est joli.
    Attention les calculs sont assez techniques.
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)