Développement : Ordre moyen de l'indicatrice d'Euler et de $\sigma$

Détails/Enoncé :

Un ordre moyen de $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est une fonction $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ mesurable telle que $\sum_{n \leq x } \sim \int_0^x g(t)dt$ pour $x \to +\infty$.
Un ordre moyen de $\sigma(n)=\sum_{d|n} d$ est $x \mapsto \frac{\pi^2}{6}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{\pi^2}{12}x^2 + O(xlog(x))$.
Un ordre moyen de l'indicatrice d'Euler $\varphi$ est $x \mapsto \frac{6}{\pi^2}x$, et $\sum_{n \leq x} \sigma_n = \frac{3}{\pi^2}x^2 + O(xlog(x))$.

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    N'hésitez pas à me signaler la moindre erreur ou coquille par mail. Je n'ai pas directement parlé d'ordres moyens dans ce document, je présente les calculs qui permettent d'aboutir aux développements asymptotiques voulus. Je l'ai rédigé à ma manière en essayant de rendre clair les différentes étapes.. En espérant que cela puisse aider.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Tennenbaum (utilisée dans 4 versions au total)