Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Description du jury :
Deux hommes (J1 et J2) et une femme (J3), très souriants et agréables. J1, l’homme qui m’a fait entrer me redonne les consignes après m’avoir demandé la leçon que j’ai choisie, et me dit que je peux me lancer quand je veux. Jury tout du long très agréable et avenant.
Déroulement de l’oral :
Défense de plan : Un peu mieux qu’en algèbre, j’introduis la notion de différentiabilité comme manière d’approcher localement la fonction par une fonction plus simple, comme un espace affine (droite dans le cas réel, plan dans le cas R²…) et puis je déroule, j’introduis les notions, les thm et je déroule. J’ai eu le temps, sans rentrer dans le détail, de couvrir tout le plan et j’ai annoncé mes développements.
Développement : J’annonce les deux dvts et le jury choisi le deuxième, caractérisation des fonctions convexes différentiables. Celui que je trouve le moins intéressant des deux, dommages.
Je réalise le développement du thm en 15 minutes 20. J’ai eu quelques bugs mais me suis reprise. Je n’ai pas eu le temps de fini, j’ai dû faire la dernière implication à l’oral.
Questions :
J2 : À la fin du dvpt vous dites vouloir utiliser la formule de Taylor avec reste intégral. Vous pouvez l’écrire ?
Je savais qu’il fallait la relire avant de rentrer dans la salle et j’ai oublié, donc évidemment je me suis plantée. Ils m’ont guidée, j’ai fini par écrire un truc qui me semblait correct et ai demandé à vérifier dans mon plan, c’était bon.
J3 : vous pouvez expliquer à nouveau comment vous avez obtenu les deux inégalités au début de votre développement ?
J’avais fait une erreur, inversé x et y, ce que j’ai repéré de suite et j’ai pu corriger (ça restait inversé dans la suite mais ils ont vu que j’ai compris et vu seule, puis corrigé le pb).
J3 : Vous avez utilisé l’IAF pour une fonction à variable et valeurs vectorielle. Est-ce que le TAF, avec égalité donc, est valable.
J’hésite un peu, ils me demandent d’écrire le TAF pour une fonction de variable et à valeurs réelles. Je l’écris, l’illustre par un schéma, et dit que je pense qu’en vectoriel on risque d’avoir un pb mais je n’arrive pas à savoir comment démarrer la réflexion. La jury me propose de trouver un contre-exemple. Je bloque. Elle me dit que je dois trouver une fonction tq f(a)=f(b) mais telle que f’ ne s’annule jamais. Je bloque. Elle me suggère de regarder une fonction de R dans C. Je bloque encore. Elle me demande une fonction à valeurs complexes qui ne s’annulerait jamais, je réponds exponentielle. Elle me demande de creuser. Et là, illumination, l’exponentielle complexe, que j’illustre avec un cercle trigo.
J1 : Ok on passe au plan. Que doit-on supposer de plus sur l’ouvert U dans le paragraphe sur les fonctions convexes ?
Ah oui, que U est convexe évidemment. Sinon on a un problème.
J1 : Ok et pourquoi ?
Pcq quand on travaille avec les fonctions convexes on travail sur tout le segment entre x et y, comme on le fait d’ailleurs dans le dvpt que j’ai présenté, et on a besoin qu’il soit contenu dans U, donc que celui-ci soit convexe. J’ai oublié de l’écrire dans le plan c’est une erreur.
J1 : Ok on va faire un exercice. On considère φ:M→M^(-1). Est-elle différentiable en In ?
Je dis que pour le savoir on peut essayer de calculer φ(M+H) donc je l’écris et puis l’exo (classique) me revient en mémoire. Je tire sur le fil, j’explique un peu qu’on cherche une application linéaire, et après je dis qu’on peut montrer que si ‖H‖<1 alors l’inverse de M+H est ∑▒〖(-H)〗^k . Ils me croient sur parole.
J1 : Ok et ensuite ?
Ah oui, j’en oubliais le but ! Alors ensuite on sort les deux premiers termes de la somme. On retrouve φ(I_n) et un terme linéaire, -H, puis un o(H²), euh non pardon un o(H), car on peut sortir un terme H² et après on a un petit o(H) car on a un terme en H * H * constante.
J3 : Et de quelle norme vous parlez ?
On est en dimension finie donc n’importe laquelle convient tant que c’est une norme d’algèbre.
J3 : Ok et comment vous fabriquez le petit o alors ?
Par sous-multiplicativité de la norme, on peut faire rentrer les normes par inégalité triangulaire d’abord, puis sous-multiplicativité.
J3 : Et ça marcherait pour n’importe quel H ?
Non, il faut ‖H‖<1 pour que la série à droite de l’inégalité converge, ce que j’ai supposé ici (je l’avais écrit au tableau).
J3 : Ok alors on va faire un autre exercice. On prend f:X→XM+MX. Expliquez pourquoi elle est C∞ et donnez sa différentielle.
C’est une application C∞ car c’est un polynôme en les coefs de X donc elle est C∞ et sa différentielle on peut l’écrire c’est HM+MH.
J3 : Ok et maintenant on suppose que M est diagonalisable et que toutes ses vp sont strictement positives. On veut montrer qu’il existe g, une fonction, U et V deux espaces qu’on ne connait pas, tq g:U→V et g◦f=idV et g◦f=idU.
Ah bah là on a envie d’utiliser le thm d’inversion locale. Il faut donc qu’on montre que on a une différentielle inversible au point qui nous intéresse. Ici on va tenter avec n’importe lequel.
Donc pour montrer que la différentielle est inversible, ça ne me semble pas raisonnable d’essayer d’écrire sa matrice, ni de calculer son déterminant.
J3 : Vous ne connaissez pas d’autre moyens de faire ?
Hmm, le polynôme caractéristique pour trouver toutes ses vp, mais même pb que regarder sa matrice ou son déterminant…
J3 : Et si on regarde son noyau ?
Ah oui effectivement il suffit de mq que son noyau est réduit à O.
J3 : et ça suffit ? Pourquoi ?
Oui par le thm du rang ça suffit, on connaît les dimensions des espaces de départ et d’arrivée.
J3 : Ok allez-y.
Ok donc je veux monter que si H est dans le noyau, H=0. Je l’écris, je déroule. J’arrive à MH=-HM. Je dis que j’ai envie d’écrire M sous sa forme diagonale. J’introduis donc P, matrice inversible, tq M=PDP-1. Je déroule, je multiplie à droite et à gauche par P et P-1 et j’ai DP-1HP = P-1HPD. Je dis que je vois apparaître une nouvelle matrice, P-1HP. La jury me suggère de lui donner un nom. Je l’appelle donc K et je dis que si je montre que K = 0 ça me permettra de conclure que H=0. Je propose de calculer les produits matriciels, assez facile puisque D est diagonale. Elle me dit que c’est la bonne chose à faire. Je les fais, et je tombe sur, coef par coef, λ_i k_(i,j)=〖-λ〗_j k_(i,j). Je fais tout passer à gauche et comme les vp sont >0 je conclue que ki,j = 0.
J1 : Ok on va faire un autre exercice. On a f, une fonction de R dans R, C1 et telle que la norme sup de sa dérivée et strictement plus petite que 1, et g une fonction de R² dans R g:(x,y)→(x+f(y),y+f(x)). Peut-on trouver un endroit ou g serait un C1 difféomorphisme ? Peut-on le trouver local ? global ?
Ah bah on a besoin à nouveau du TIL. On a bien g C1 car f l’est, et on veut vérifier que la différentielle, localement pour le TIL local au moins, est inversible. Donc je différencie. J’ai donc 〖dg〗_((x,y)):(h,k)→(h+f^' (h)y,k+f^' (k)x). (je me corrige avant que le jury ait le temps à quelques moments, notamment au début ou j’ai pas pris un couple (h,k) mais seulement h, et parce qu’au début j’avais écrit dfx(h) et dfy(k) mais fait la remarque que comme f était de variable réelle elle était dérivable et qu’on devait écrire f’ et pas df).
J2 : Vous êtes sûre de votre différentielle ? Vous avez effacé vos df peut-être un peu vite ?
Ah oui c’est pas f’(h)y et f’(k)x mais f’(y)h et f’(x)k. J’ai donc〖dg〗_((x,y)):(h,k)→(h+f^' (y)h,k+f^' (x)k).
J1 : Ok et comment vous avez différencié?
Chaque composante est linéaire donc je peux juste différencier chaque terme directement, le x devient h, le f(y) devient f’(y)k, etc.
J1 : Ah oui ok mais y’a pas un autre moyen de l’obtenir ? Qui vous permettra ensuite de regarder si c’est inversible ?
Ah si, on pourrait écrire sa matrice. Je la trouve : [■(1&f'(y)@f'(x)&1)] et je dis « ah mais oui en fait j’aurais du calculer la jacobienne directement. Bon en tout cas on a la matrice ». Donc je calcule son déterminant, 1-f’(y)f’(x) qui est donc non nul car le sup de f’ est <1. Donc on peut applique le TIL et on a le résultat. Pour le TIL global, comme vous le constaterez je ne l’ai pas mis dans mon plan je suis un peu moins à l’aise sur ses hypothèses, mais en tout cas la jacobienne est inversible en tout point de R², est-ce que ça nous permettrait de conclure ?
J1 : On veut montrer que g est un C1 différomorphisme. C’est quoi un C1 difféomorphisme ?
Une fonction C1 dont la réciproque est C1 aussi.
J1 : C’est tout ?
Hmm… Je peux regarder mon plan ?
J1 : C’est quoi la partie difféomorphisme ?
Hmmm (fin d’oral, bug). Elle est bijective ?
J1 : Et ça veut dire quoi ?
Qu’elle atteint tout et que chaque image est obtenue une unique fois.
J1 : Bijective, donc en particulier injective et ... ?
Surjective
J1 : Oui donc il nous reste encore du boulot… Mais c’est la fin on va devoir s’arrêter là.
