Développement : Théorème des extrema liés (sans utiliser de sous-variétés)

Détails/Enoncé :

Soient $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $f$, $g_1,\dots,g_p$ des fonctions réelles de classe $C^1$ de $U$ dans $\mathbb{R}$ et,
\begin{equation*}
X = \{ x \in U, \ g_1(x) = \dots = g_p(x) = 0\}.
\end{equation*}
Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x_0 \in X$ et si les différentielles $Dg_1(x_0),\dots,Dg_p(x_0)$ sont des formes linéaires indépendantes sur $\mathbb{R}^n$, alors il existe des réels $\lambda_1,\dots,\lambda_p$, appelés multiplicateurs de Lagrange, tels que :
\begin{equation*}
Df(x_0) = \lambda_1 Dg_1(x_0) + \dots + \lambda_p Dg_p(x_0).
\end{equation*}

Référence : à ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    À ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.
    Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème des extrema liés figure sur le programme du concours.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :