Développement : Théorème de Sard

Détails/Enoncé :

Soit U un ouvert de R^m et f une application de U dans R^n de classe C1. Alors l’image de l’ensemble des points critiques est de mesure de Lebesgue nulle.
On présente ici le cas où m=n.
Ce résultat est la version la plus présentable à l’agrégation.
Le cas où m < n est évident, et le cas m > n plus difficile, nécessite que f soit au moins de classe Ck avec k=max(1,m-n+1).

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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  • Remarque :
    Recasages : 214, 215

    C'est un développement qui est assez difficile à présenter car les sources sont elliptiques sur la preuve. C'est pourquoi j'ai essayé de détailler au maximum les arguments (on peut faire un très beau dessin aussi).

    Comme je précise dans les compléments ce théorème est un pilier de la topologie différentielle, il a donc tout à fait sa place dans les plans de leçon sur le calcul différentiel (vérifié par un professeur). Cependant, je ne sais pas si je garderai ce développement pour le jour J car il est fortement hors-programme.

    Si vous avez des questions sur le développement vous pouvez m'envoyer un email, je répondrai avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Introduction aux variétés différentielles , Lafontaine (utilisée dans 19 versions au total)
Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 14 versions au total)