Développement : Asymptotique d'une équation du troisième degré

Détails/Enoncé :

Soit $f(x,\varepsilon) = (x-a)(b-x) + \varepsilon x^3$.
On donne un développement asymptotique des trois racines de f grâce au théorème des fonctions implicites et aux relations racines/coefficients.
On en déduit que :
$I(\varepsilon)=\displaystyle \int_{x_1(\varepsilon)}^{x_2(\varepsilon)} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{f(x,\varepsilon)}}=\pi+\frac{3\pi}{4}(a+b)\varepsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Je suis tombé dessus le jour J en 224 (voir mon retour sur la leçon). C'est un bon développement assez élémentaire (mise à par le théorème des fonctions implicites). Faut être un peu à l'aise dans tous ce que Taylor et faut le travailler si on veut être à l'aise dessus.

    Il a des recassages intéressants notamment le fait de rentrer parfaitement dans la 214 et 224.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)