Développement : Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Détails/Enoncé :

Soit $f : \mathbb R^d \to \mathbb R^d$ une application de classe $C^1$ admettant un zéro en $x^* \in \mathbb R^d$. On s'intéresse au flot de l'équation différentielle autonome :
$$ x' = f(x) $$
c'est-à-dire à l'application qui à une condition initiale $x_0$ associe la solution maximale à cette équation avec condition initiale $x(0) = x_0$.
On montre que pour tout $T > 0$, il existe un voisinage $V$ de l'équilibre $x^*$ tel que pour tout $x_0 \in V$, la solution maximale issue de $x_0$ est définie au moins sur $[-T, T]$ et que l'application qui à $x_0 \in V$ associe cette solution est de classe $C^1$. On obtient au passage l'expression explicite de sa différentielle en $x^*$.
Ce résultat peut servir à produire une preuve d'un théorème de linéarisation de Liapounov pour l'étude de la stabilité des équations différentielles autonomes.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Un développement qui se recase très bien dans les leçons d'équa diff sans pour autant reposer sur beaucoup d'outils très typés "équa diff", mais qui en contrepartie use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie. A vos risques et périls donc !
    La version que j'ai rédigée est beaucoup trop longue pour être traitée. Comme les raisonnements de calcul diff sont toujours lourds en notations, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible et clarifier au mieux la nature des différents objets, surtout que la référence est assez elliptique sur le sujet. Après avoir fait un essai à l'oral, je recommande de laisser de côté l'application à Liapounov (mais de la garder pour le plan !), de passer rapidement sur le calcul de la différentielle de $f_*$ et de se contenter de donner l'expression de la formule de $h$ dans la partie "surjectivité de $d_2 F(x^*, t \mapsto x^*)$", sans ensuite vérifier que cette expression réalise bien l'inversion que l'on veut (ce qui je pense se justifie par le fait que c'est très calculatoire et peu intéressant dans les leçons dans lesquelles c'est recasé).
    J'ai ajouté un paquet de remarques à la fin du document, je ne m'étends donc pas plus ici.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 14 versions au total)