Développement : Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

Détails/Enoncé :

Soit $f: R^n→R^n$ de classe $C^1$ telle que pour tout $x \in R^n$, $df(x) \in O_n(R)$. Alors $f$ est une isométrie affine.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Recasages: 204, 215

    Pages 42+328+349

    On montre que tout ouvert connexe de $\mathbb{R}^n$ est connexe par lignes brisées, le lien entre constance et différentielle nulle sur un connexe, et enfin le théorème.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles, erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

    Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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    Développement pas trop difficile mais sympa quand même.

    Les recasages à mon avis:
    Connexité
    Thm d'inversion locale et des fonctions implicites
    Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$.

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 597 versions au total)