Développement : Étude des fonctions elliptiques de Weierstrass

Détails/Enoncé :

On fixe $\Lambda$ un réseau de $\mathbb{C}$. Alors la fonction

$$\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \left( \frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2} \right)$$

est une fonction holomorphe sur $\mathbb{C} \setminus \Lambda$ et vérifie l'équation fonctionnelle

$$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3$$

avec $g_2 = 60 \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \frac{1}{\omega^4}$ et $g_4 = 140 \sum_{\omega \in \Lambda \setminus \left\{ 0 \right\} } \frac{1}{\omega^6}$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Je suis tombé dessus le jour de mon oral d'analyse. J'avais eu beaucoup de question sur le développement donc il faut s'y préparer. À noter que l'on peut démontrer plus facilement le lemme fondamental en remarquant que la fonction $(x,y) \mapsto |x \omega_1 + y \omega_2 |$ définit une norme sur $\mathbb{R}^2$.

    La référence est pas très complète et c'est bien d'avoir une idée de l'utilité de ces fonctions bizarres (paramétriser des courbes elliptiques). À part ça, c'est facile.

    Attention aux coquilles !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Complex Algebraic Curves , Kirwan (utilisée dans 1 versions au total)