Développement : Analyticité des fonctions holomorphes

Détails/Enoncé :

Une fonction holomorphes sur un ouvert est développable en série entière en tout point

Recasages pour l'année 2025 :

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    Développement plutôt sympa, qui rentre bien dans le temps imparti même en prenant son temps. Je montre dans cette version que toute fonction holomorphe est analytique (à partir de la formule de Cauchy sur les convexes), j'en déduit les estimées de Cauchy et le théorème de Liouville qui affirme que toute fonction entière bornée est constante. Le Rudin fait les choses, mais tout n'est pas au même endroit dans le bouquin.

    Côté recasages:
    Espaces de fonctions
    Suites et séries de fonctions
    Séries entières
    Fonctions holomorphes

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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    Je fais la démonstration de l’analycite des fonctions holomorphes, puis je fais les estimées de Cauchy, j’en déduis le théorème de Liouville puis enfin on conclut avec d’Alembert Gauss.

    Je pense que tout est bien en 15 minutes mais si c’est trop long, on explique d’Alembert Gauss à l’oral.

    Recasages : 201 - 241 - 243 - 245

    J’indique le Rudin comme référence mais clairement je déteste ce livre et je ne m’en suis pratiquement pas servis. Il m’est utile seulement pour les énoncés de théorème. Ma référence pour les preuves est le nouveau livre d’analyse de Rombaldi qui n’est pas dispo sur maths agreg.

    Note supplémentaire : assurez vous de bien comprendre pourquoi si une série entière admet un rayon de convergence R>0, alors sa somme f est une fonction analytique sur D(0,R) ! C’est très bien démontré dans le Tauvel page 50-51 (hormis le fait qu’après son « il vient » il fait 2 erreurs de notation mais que l’on détecte directement en faisant la preuve)
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    Recasages: 235, 241, 243, 245

    Je ne ferai pas la 1ère proposition car je trouve qu'elle est pas super intéressante et elle n'a pas du tout la même importance que le théorème qui suit. C'est pourquoi j'aurai plutôt ajouter les inégalités de Cauchy, le théorème de Liouville et le théorème de D'Alembert-Gauss, qui ne sont pas très compliqués.

    Je mixe le Tauvel et le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe (pas référencié sur ce site) pour l'analyticité des fonctions holomorphes.

    Je faisais ces 4 résultats en 15 minutes pile en m'entraînant donc c'est un peu limite.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 678 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 91 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 122 versions au total)