Développement : Nombres de Bell

Détails/Enoncé :

Pour tout $n \in \mathbb{N}_{> 0}$, on définit $B_n$ comme étant le nombre de partition de $\{1 , \ldots , n \}$. Alors ces nombres vérifient

$$ B_n =\frac{1}{e} \sum_{k \ge 0} \frac{k^n}{n!} $$

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

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    Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
    Alors :
    -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
    \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
    \end{equation}
    -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
    a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
    $$
    \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
    $$
    -- Pour tout entier naturel $n$,
    $$
    B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
    $$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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  • Remarque :
    Recasages: 190, (241, 243)

    Le recasage dans les 241 (suites et séries de fonctions) et 243 (séries entières) sont contestables, dans la mesure où, dans l'absolu, les séries entières sont inutiles. On travaille avec des séries génératrices, qui sont des séries formelles. Le seul argument que je vois en faveur de l'utilisation des séries entières est la résolution de l'équation différentielle, qui peut en théorie être traitée dans l'anneau des séries formelles, mais cela dépasse le cadre du programme.

    Bernis p266, FGN p12

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention au début de la preuve, un peu technique. Le reste déroule bien.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 142 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 57 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 17 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 8 versions au total)