Développement : Nombres de Bell

Détails/Enoncé :

Pour tout $n \in \mathbb{N}_{> 0}$, on définit $B_n$ comme étant le nombre de partition de $\{1 , \ldots , n \}$. Alors ces nombres vérifient

$$ B_n =\frac{1}{e} \sum_{k \ge 0} \frac{k^n}{n!} $$

Recasages pour l'année 2025 :

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    Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$.
    Alors :
    -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$,
    \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}.
    \end{equation}
    -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
    a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie :
    $$
    \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t).
    $$
    -- Pour tout entier naturel $n$,
    $$
    B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}.
    $$

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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    Attention au début de la preuve, un peu technique. Le reste déroule bien.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 149 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 158 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 59 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 21 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition, Julien Bernis, Laurent Bernis (utilisée dans 16 versions au total)